Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 174)

a) Cho $f\left(x\right)=\left(x+10\right)^6$. Tính $f"\left(2\right)$ ?

b) Cho $f\left(x\right)=\sin3x$. Tính $f"\left(-\dfrac{\pi}{2}\right);f"\left(0\right);f"\left(\dfrac{\pi}{18}\right)$ ?

Hướng dẫn giải

a) Ta có f'(x) = 6(x + 10)'.(x + 10)^{5

$=6.\left(x+10\right)^5$}

f"(x) = 6.5(x + 10)'.(x + 10)⁴ = 30.(x + 10)⁴.

=> f''(2) = 30.(2 + 10)⁴ = 622 080.

b) Ta có f'(x) = (3x)'.cos3x = 3cos3x,

f"(x) = 3.[-(3x)'.sin3x] = -9sin3x.

Suy ra f"$\dfrac{-\pi}{2}$ = -9sin$\dfrac{-3\pi}{2}$ = -9;

f"(0) = -9sin0 = 0;

f"$\dfrac{\pi}{18}$ = -9sin$\dfrac{\pi}{6}$ = $\dfrac{-9}{2}$.

Bài 2 (SGK trang 174)

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :

a) $y=\dfrac{1}{1-x}$

b) $y=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$

c) $y=\tan x$

d) $y=\cos^2x$

Hướng dẫn giải

Lời giải:

a) y' = $\frac{(1-x)'}{(1-x)^{2}}$ = $\frac{1}{(1-x)^{2}}$ , y" = $\frac{[(1-x^{2})]'}{(1-x)^{4}}$ = $\frac{2.(-1)(1-x)}{(1-x)^{4}}$ = $\frac{2}{(1-x)^{3}}$ .

b) y' = $-\frac{(\sqrt{1-x})'}{1-x}$ = $\frac{1}{2(1-x)\sqrt{1-x}}$ ;

y" = $-\frac{1}{2}\frac{[(1-x)\sqrt{1-x}]'}{(1-x)^{3}}$ = $-\frac{1}{2}\frac{-\sqrt{1-x}+(1-x)\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{(1-x)^{3}}$ = $\frac{3}{4(1-x)^{2}\sqrt{1-x}}$ .