Bài 1 (Sách bài tập trang 126)

Lý thuyết

Câu hỏi

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :

a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)

Hướng dẫn giải

a)
Với \(n=1\).
\(n^5-n=1^5-1=0\).
Do 0 chia hết cho 5 nên điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(k^5-k⋮5\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)=C^0_5k^0+C^1_5k+...+C^5_5k^5-k-1\)
\(=1+C^1_5k+...+k^5-k-1\)
\(=C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\)
Do mỗi \(C_5^1;C^2_5;C^3_5;C^4_5\) đều chia hết cho 5 và do gải thiết quy nạp \(k^5-k⋮5\) nên \(C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\) chia hết cho 5.
Vì vậy: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.

Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:57:05

Các câu hỏi cùng bài học

• Bài 7 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 11 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 8 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 6 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 5 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 4 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 2 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 9 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 3 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 13 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 1 (Sách bài tập trang 126)
• Bài 12 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 10 (Sách bài tập trang 128)