Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 3 (Sách bài tập trang 127)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:14:05

Lý thuyết

Câu hỏi

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :

a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)

b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)

Hướng dẫn giải

a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).

Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:57:05

Các câu hỏi cùng bài học

Có thể bạn quan tâm