Bài 3: Cấp số cộng

Lý thuyết

Bài 3.8 (Sách bài tập trang 118)

Tìm \(x\) từ phương trình :

a) \(2+7+12+....+x=245,\) biết \(2,7,12,....,x\) là cấp số cộng

b) \(\left(2x+1\right)+\left(2x+6\right)+\left(2x+11\right)+.....+\left(2x+96\right)=1010\)biết 1, 6, 11, .... là cấp số cộng

Hướng dẫn giải

Bài làm

a)dãy số U: \(2,7,12,...x\)

U là cấp số cộng\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=u_2-u_1=7-2=5\\u_1=2\end{matrix}\right.\)

\(U_n=U_1+\left(n-1\right)d\)

=> \(n=\dfrac{U_n-U_1}{d}+1=\dfrac{x-2}{5}+1=\dfrac{\left(x+3\right)}{5}\)

\(S_n=\dfrac{n\left(U_1+U_n\right)}{2}=\dfrac{\dfrac{\left(x+3\right)}{5}\left(2+x\right)}{2}=\dfrac{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}{2.5}=245\)

\(x^2+5x+6=2450\)

\(x^2+5x-2444=0\)

\(\Delta=5^2-4.\left(-2444\right)=9801=\)99^2

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-5-99}{2}< 0\left(loai\right)\\x_2=\dfrac{-5+99}{2}=47\end{matrix}\right.\)

Đáp số: x=47

Bài 3.6 (Sách bài tập trang 118)

Cho 3 góc \(\alpha,\beta,\gamma\) tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai \(d=\dfrac{\pi}{3}\). Chứng minh :

a) \(\tan\alpha.\tan\beta+\tan\beta\tan\gamma+\tan\gamma.\tan\alpha=-3\)

b) \(4\cos\alpha.\cos\beta\cos\gamma=\cos3\beta\)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có 3 góc: \(\alpha;\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{3};\gamma=\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\).
Ta có:
\(tan\alpha.tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)+tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right).tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\)\(tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right).tan\alpha\)
\(=tan\alpha\left[tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)+tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right]\)\(+tan\left(a+\dfrac{\pi}{3}\right)tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
\(=tan\alpha\dfrac{sin\left(2\alpha+\pi\right)}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)\(+\dfrac{sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)sin\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=tan\alpha\dfrac{-sin2\alpha}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)\(+\dfrac{cos\dfrac{\pi}{3}-cos\left(2\alpha+\pi\right)}{2cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{-2sin^2\alpha}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)\(+\dfrac{\dfrac{1}{2}+cos2\alpha}{2cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-4sin^2\alpha+cos2\alpha}{2cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-4\left(1-cos^2\alpha\right)+2cos^2\alpha-1}{cos\dfrac{\pi}{3}+cos\left(2\alpha+\pi\right)}\)
\(=\dfrac{6cos^2\alpha-\dfrac{9}{2}}{\dfrac{1}{2}-cos2\alpha}\)
\(=\dfrac{3\left(2cos^2\alpha-\dfrac{3}{2}\right)}{\dfrac{1}{2}-\left(2cos^2\alpha-1\right)}=\dfrac{3\left(2cos^2\alpha-\dfrac{3}{2}\right)}{\dfrac{3}{2}-2cos^2\alpha}=-3\).

Bài 3.1 (Sách bài tập trang 117)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=1-7n\)

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số

Hướng dẫn giải

Bài 3.7 (Sách bài tập trang 118)

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) chứng minh nếu :

                   \(\dfrac{S_m}{S_n}=\dfrac{m^2}{n^2}\)

thì :

                    \(\dfrac{u_m}{u_n}=\dfrac{2m-1}{2n-1}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.5 (Sách bài tập trang 118)

Tìm cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=27\\u^2_1+u^2_2+u^2_3=275\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2+....+u_n=a\\u^2_1+u^2_2+.....+u^2_n=b^2\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.4 (Sách bài tập trang 118)

Tính số các số hạng của cấp số cộng \(\left(a_n\right)\), nếu :

               \(\left\{{}\begin{matrix}a_2+a_4+....+a_{2n}=126\\a_2+a_{2n}=42\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.3 (Sách bài tập trang 118)

Tính số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+2u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4=10\\u_7=19\end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5-u_3=10\\u_1+u_6=7\end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2u_7=75\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là: $u_1$ và $d$.
Ta có:
$\left\{{}\begin{matrix}u_1+2u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2.\left(u_1+4d\right)=0\\\dfrac{\left[2u_1+3d\right].4}{2}=14\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u_1+8d=0\\2u_1+3d=7\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=8\\d=-3\end{matrix}\right.$.

Bài 3.2 (Sách bài tập trang 118)

Trong các dãy số \(\left(u_n\right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?

a) \(u_n=3n-1\)

b) \(u_n=2^n+1\)
c) \(u_n=\left(n+1\right)^2-n^2\)

d) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\u_{n+1}=1-u_n\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải