Bài 2 (Sách bài tập trang 127)

Lý thuyết

Câu hỏi

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)

a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)

b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)

c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)

Hướng dẫn giải

b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:57:05

Các câu hỏi cùng bài học

• Bài 7 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 11 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 8 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 6 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 5 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 4 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 2 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 9 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 3 (Sách bài tập trang 127)
• Bài 13 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 1 (Sách bài tập trang 126)
• Bài 12 (Sách bài tập trang 128)
• Bài 10 (Sách bài tập trang 128)