30 bài bất đẳng thức và giá trị lớn nhỏ nhất có đáp án

30 bài bất đẳng thức và giá trị lớn nhỏ nhất có đáp án 1)Cho x, y, 0 và 23x z Ch ng minh:ư3 32 23 221 1x zy x  GI IẢTa có: VT 32 22 2( )1 1x zy xy x  0.253 22 26 1( )4 22 1x yVTy y  22 21( )4 22 1y zz z  22 21( )4 22 1z xx x  0.256 63 363 34 16 16 16 2x zVT 0.252 2633 9( )2 82 2VT z 639 32 22 2VT VP (đpcm)( ng ra khi va ch khi 1)â i2) Cho x, y, là các th ng và tho mãn đi ki xy yz zx ươ 2xyz Tìm giá tr nh bi th (x 1)(y 1)(z 1).ị ứGI IẢTa có 12 2xy yz xz xyzx z nên 1)( 1)1 (1)y zx yz  T ng ta có ươ ự1 1)( 1)1 (2)x zy xz  1 1)( 1)1 (3)x yy xy  Nhân (1), (2), (3) ta đc ượ1( 1)( 1)( 1)8x z ĐNG VI ANH­BR http://thay­do.netv Aậmax 38 2x z 3. th x, th đi ki ệ2 22 1x xy Tìm giá tr nh và giá tr nhị nh bi th ứ4 42 1x yPxy .GĐt xy . Ta có: 211 45xy xy xy xy Và 211 43xy xy xy xy ĐK:1 15 3t Suy ra 22 2227 12 1x yt tPxy t    Do đó: 227'2 1t tPt  ' 0( ), 1( )P th kth 25 15P P    và 104P KL: GTLN là 14 và GTNN là 215 HSLT trên đo ạ1 1;5 3   )4)V th ng ươ ;x th đi ki ệ1x z Tìm giá tr nh nh bi uị th c: ứ1 12P zx z    GÁp ng BĐT Cô­si 218 12 xx (1). ng xãy ra khi 13x . ng ươ ự218 12yy (2) và 218 12zz (3). Mà: 17 17x z (4). ng (1),(2),(3),(4), ta có: ộ19P 1193P z KL: GTNN là 19 .5. Ch ng minh ứ2 212a cab bc ca ca a  ng ươ ;a c. Ta có: 2122a ab aba aba bab  (1) ng ươ ự212bb bcb c  (2),212cc cac a  (3). ng (1), (2), (3), ta có: ộ2 212a cab bc ca ca a  ĐNG VI ANH­BR http://thay­do.net6)Cho x, y, là các ng th mãn ươ ỏ1 14x z CMR: 112 2x z  +Ta có 12 2.( )x z  ;1 12 2( )x z  ;1 12 2( )x x  + có ạ1 1( );x y  1( );y z  1( );x z c ng các BĐT này ta đc đpcm.ộ ượ7) Cho a, b, c0 và 23a c Tìm giá tr nh nh bi th 32 21 1a cPb a  GI IẢTa có: 223223223111aacccbbba241121224622223bbabaP 241121222223ccbcb 241121222223aacac363636216321632163cba62223829)(2223223cbaP2322322922322963PĐ PểMin khi 18. Cho các th ng a,b,c thay đi luôn tho mãnố ươ a+b+c=1.Ch ng minh ng :ứ ằ2 22.a ab b   GI IẢ .Ta có :VT =2 2( )a aA Bb b  331 13 )21 93 )( )( 32 232A aa aa aa aA        ĐNG VI ANH­BR http://thay­do.net 22 21 )( )11 .22a ca aa aB B   T đó tacó VTừ3 122 2VP D đng th ra khi a=b=c=1/3â a9. Cho ng x, y, th mãn +3y+5z ươ ỏ3 .Ch ng minh ng: ằ462534zxy+4154xyz +48154yzx 455 xyz.GI IẢB đng th cấ ứ224xx+22949yy +2225425zz 45 VT 22)52322()53(zyxzyx3223)5.3.(36)5.3.(.9zyxzyx Đt ặ32)5.3.(zyx ta có 1353)5.3.(33zyxzyx do đó Đi ki ệ 1. XÐ hàm f(t)= ốt9 +t3636 3636 27 36 27t tt t 45 ng ra khi: t=1 hay x=1; y= 31 z=51 10. Cho x, y, là th thu (0;1]. Ch ng minh ngố ằ1 51 1xy yz zx z  GI IẢĐ ng ằ1 0xy y và ng ta cũng có ươ ự11yz zzx x  Vì ta có:ậĐNG VI ANH­BR http://thay­do.net1 11 11 131 zx+y1511 55 zx zxy yz zx yz zx xyx zyz xy zz yxyz zx xy zz yxz z                 11.Cho a, b, là ba nh tam giác. Ch ng minhạ ứ1 223 3b caa b     GI IẢVì a, b, là ba nh tam giác nên:ạa cb ac b    Đt ặ, ,2 2a ax y  .V trái vi i:ế ạ23 2a aVTa cx zy y     Ta có: 22z zx yx y  .T ng ươ ự2 2; .x yy z  Do đó: 22x zx zy z   .T là: ư1 223 3b caa b     12. Cho hai ng ươ ,x th mãn: ỏ5x y Tìm giá tr nh nh bi th c:ị ứ4 24x yPxy  GI IẢCho hai ng ươ ,x th mãn: ỏ5x y .4 14 2x yPxy x  Thay 5y x đc: ượ4 32 .4 2y yP xy x ĐNG VI ANH­BR http://thay­do.netP ng 32 khi 1; 4x y Min 32L ý:ưCó th thay ể5y x sau đó tìm giá tr bé nh hàm ố3 5( )(5 4x xg xx x  13. Cho x, y, 0 tho mãn x+y+z 0. Tìm giá tr nh nh bi th cả ứ3 3316x zPx z  GI IẢTr ta có: ướ ế33 34x yx y (bi đi ng đng) ươ ươ2... 0x y Đt a. Khi đó ặ3 33 3333 364 644 64x zP ta a  (v za 1t )Xét hàm f(t) (1 t)ố 64t tớ0;1 Có221'( 64 '( 0;19f t   L ng bi thiênậ ế0;164inf81tM t GTNN là 1681 đt đc khi 4z 0ạ ượ14. Ch ng minh: ứ1 112x zx z    th thu đo ạ1; .GI IẢTa có:231 4t tt .Suy ra 34 4x zx z 1 13 12Q zx z    1 13 122Qx zx z    15.Tìm giá tr nh nh hàm ố1y ln x .GI IẢ TXĐ: 0 ;D 1' lnxy xx y’= 1x y(1) vì1lnxy xx là HSĐB ĐNG VI ANH­BR http://thay­do.net Khi ' 0y khi ' 0y KL: miny 01x .16. Cho x, y, là th thu (0;1]. Ch ng minh ngứ ằ1 51 1xy yz zx z  GI IẢĐ ng ă1 0xy y và ng ta cũng có ươ ự11yz zzx x  Vì ta có:ậ1 11 11 131 zx+y1511 55 zx zxy yz zx yz zx xyx zyz xy zz yxyz zx xy zz yxz z                  vv17. Cho là các th ng th mãn: ươ 3. Tìm giá tr nh nh bi th c:ị ứ1 11 1Pxy yz zx  Gi iả2/. Ta có: 1 1(1 (1 (1 91 1xy yz zxxy yz zx     2 29 933Pxy yz zxx z   V GTNN là Pmin 32 khi z 36 2P 18. Cho a, b, là các th tho mãn ả3.a c Tìm giá tr nh nh bi th cị ứ4 16 16 16 .a cM GI IẢTheo cô si có 322 6b c  ng …ươ ựĐt ặ2 wa au v r uur uurĐNG VI ANH­BR http://thay­do.net2 2w 4a cM v r uur ậ3 29.M ng ra khi a1.a c 19. Cho x, y, 0tho mãn x+y+z 0. Tìm giá tr nh nh bi th cả ứ3 3316x zPx z  GI IẢTr ta có: ướ ế33 34x yx y 2... 0x y Đt a. Khi đó ặ3 33 3333 364 644 64x zP ta a  (v za 1t )Xét hàm f(t) (1 t)ố 64t tớ0;1 Có221'( 64 '( 0;19f t   L ng bi thiênậ ế0;164inf81tM t GTNN là 1681 đt đc khi 4z 0ạ ượ20.Xét các th ng x, y, th mãn đi ki 1.ố ươ ệTìm giá tr nh nh bi th c: ứ2 2x z) (z (x y)Pyz zx xz  GI IẢTa có 2x zPy y (*)Nh th xậ xy xy x, ¡Do đó xy(x y) x, hay 2x yx yy x x, 0T ng ta có ươ ự2 2y zy zz y y, 2z xz xx z x, ng ng ba đng th nh đc trên, (*), ta đc:ộ ượ ượP 2(x z) x, y, và 1H a, ta có khi 13 Vì y, minP 2. ậ21. Cho x, y, 0 tho mãn x+y+z 0. Tìm giá tr nh nh bi th cả ứ3 3316x zPx z  Tr ta có: ướ ế33 34x yx y (bi đi ng đng) ươ ươ2... 0x y ĐNG VI ANH­BR http://thay­do.netĐt a. Khi đó ặ3 33 3333 364 644 64x zP ta a  (v za 1t )Xét hàm f(t) (1 t)ố 64t tớ0;1 Có221'( 64 '( 0;19f t   L ng bi thiênậ ế0;164inf81tM t GTNN là 1681 đt đc khi 4z 0ạ ượ22. Cho a,b,c là ba th ng. Ch ng minh: ươ ứ3 33 31 32b ba ca c     * Ta cm a, có aớ 2b ab (*)Th y: (*) (a b)(a ­ab 2) ab(a b) (a b)(a b) đúng Đng th ra khi b.ẳ ẩ* (*) ab(a b) bc(b c) ca(c a) 2(a ab(a b) bc(b c) ca(c a) (1)* Áp ng BĐT co si cho ng ta có:ụ ươ 31a 31a 31a 333 31 1ab 3abc (2)* Nhân (1) và (2) ta đc BĐT cmế ượ ầĐng th ra khi c. ẩ23. Cho x, y, là ba th ng thay đi và th mãn: ươ ỏxyzzyx222 Hãy tìm giá tr nh ủbi th c: ứxyzzzxyyyzxxP222 xyzzzxyyxyxxP222 .Vì 0;;zyx Áp ng BĐT Côsi ta có: ụxyzzzxyyyzxxP222222 xyzxyz22241 xyzzyxxyzxyzxyzyxxzzy222212111111141 2121xyzxyzĐNG VI ANH­BR http://thay­do.net ng ra a3zyx MaxP ậ2124. Cho x,y và x, 1. Tìm giá tr nh nh ủ 2( 1)( 1)x yPx y  Đt 2. Áp ng BĐT 4xy (x y) ta có 24txy3 2(3 2)1t xy tPxy t  . Do 3t và 24txy nên ta có23 222(3 2)4214t tt ttPttt   Xét hàm ố2 224( '( ;2 2)t tf tt t  f’(t) 4.t2 f’(t) +f(t) 8Do đó min 2; )min )f t f(4) đt đc khi ượ4 24 2x xxy y     25. Cho 0, 0, 1x y Tìm giá tr nh nh bi th cị ứ1 1x yTx y  Đt ặ2 2cos sin 0;2x a    khi đó2 3sin cos sin .coscos sin cos sinsin cos ina.cos sin .cosa aa aTa a  Đt ặ21sin cos sin sin .cos4 2tt a    V ớ0 22a t Khi đó 3231t tT tt   4223' 1; 21tf ft  