268 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

268 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9 PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh (ac bd)2 (ad bc)2 (a2 b2)(c2 d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki (ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2) 3. Cho 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2. 4. a) Cho 0, 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy bab2+³. b) Cho a, b, 0. Chứng minh rằng bc ca aba ca c+ c) Cho a, và 3a 5b 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab. 5. Cho 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3. 6. Cho a3 b3 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b. 7. Cho a, b, là các số dương. Chứng minh a3 b3 abc ab(a c) 8. Tìm liên hệ giữa các số và biết rằng b+ 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a 1)2 4a b) Cho a, b, và abc 1. Chứng minh (a 1)(b 1)(c 1) 10. Chứng minh các bất đẳng thức a) (a b)2 2(a2 b2) b) (a c)2 3(a2 b2 c2) 11. Tìm các giá trị của sao cho a) 2x b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 1. 12. Tìm các số a, b, c, biết rằng a2 b2 c2 d2 a(b d) 13. Cho biểu thức a2 ab b2 3a 3b 2001. Với giá trị nào của và thì đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức x2 xy y2 3(x y) 3. CMR giá trị nhỏ nhất của bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, thỏa mãn đẳng thức sau x2 4y2 z2 2a 8y 6z 15 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 21Ax 4x 9=- 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) a) 15 và 7+ b) 17 và 45+ c) 23 19và 273- d) và 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ hơn 19. Giải phương trình 23x 6x 5x 10x 21 2x x+ -. 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x2y với các điều kiện x, và 2x xy 4. 21. Cho 1S .... ...1.1998 2.1997 (1998 1) 1998 1= +- -. Hãy so sánh và 19982.1999. 22. Chứng minh rằng Nếu số tự nhiên không phải là số chính phương thì là số vô tỉ. 23. Cho các số và cùng dấu. Chứng minh rằng :WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com a) y2y x+ b) 22 2x y0y xæ öæ ö+ ³ç ÷ç ÷è øè c) 24 2x y2y xæ öæ ö+ ³ç ÷ç ÷è øè ø. 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ a) 2+ b) 3mn+ với m, là các số hữu tỉ, 0. 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không 26. Cho các số và khác 0. Chứng minh rằng 22 2x y4 3y xæ ö+ +ç ÷è ø. 27. Cho các số x, y, dương. Chứng minh rằng 22 2x zy x+ +. 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức a) (a b)2 2(a2 b2) b) (a c)2 3(a2 b2 c2) c) (a1 a2 ….. an)2 n(a12 a22 ….. an2). 30. Cho a3 b3 2. Chứng minh rằng 2. 31. Chứng minh rằng [][][]x y+ +. 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 21Ax 6x 17=- +. 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của zAy x= với x, y, 0. 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 y2 biết 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của xyz(x y)(y z)(z x) với x, y, 1. 36. Xét xem các số và có thể là số vô tỉ không nếu a) ab và ab là số vô tỉ. b) và ab là số hữu tỉ (a 0) c) b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a 0) 37. Cho a, b, 0. Chứng minh a3 b3 abc ab(a c) 38. Cho a, b, c, 0. Chứng minh d2b b+ ³+ 39. Chứng minh rằng []2x bằng []2 hoặc []2 1+ 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng 15 30 45 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 41. Tìm các giá trị của để các biểu thức sau có nghĩa :WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com 22 21 2A= 2xxx 4x 3x 2x 1- -+ -- -2G 3x 5x 1= 42. a) Chứng minh rằng Dấu xảy ra khi nào b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2M 4x 6x 9= +. c) Giải phương trình 24x 20x 25 8x 16 18x 81+ 43. Giải phương trình 22x 8x 4x 12- =. 44. Tìm các giá trị của để các biểu thức sau có nghĩa 221 1A 9x D1 3xx 5x 6= =-- 221 xE 2x xx 42x x= --+ 45. Giải phương trình 2x 3x0x 3-=- 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x= +. 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x= 48. So sánh a) 1a và b=2+= b) 13 và 1- c) và n+1 n+ (n là số nguyên dương) 49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất 2A 6x 9x (3x 1)= -. 50. Tính b) 11 c) 27 10 2- 2d) 8m 16 8m 16 e) 1= (n 1) 51. Rút gọn biểu thức 41M45 41 45 41=+ -. 52. Tìm các số x, y, thỏa mãn đẳng thức 2(2x y) 2) (x z) 0- 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2P 25x 20x 25x 30x 9= +. 54. Giải các phương trình sau 2a b) c) 0- 2d) 2x e) 4x g) 5- 2h 2x 6x i) 25- l) 8x 3x 2x 2+ -WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com 55. Cho hai số thực và thỏa mãn các điều kiện xy và y. CMR: 2x y2 2x y+³-. 56. Rút gọn các biểu thức 13 30 b) 1c) d) 227 30 123 22 2+ -+ +57. Chứng minh rằng 22 32 2+ +. 58. Rút gọn các biểu thức ()()6 29 6a b) D2 3+ +- -= =. 59. So sánh 20 và 1+ b) 17 12 và c) 28 16 và 2+ 60. Cho biểu thức 2A 4x 4= a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn các biểu thức sau 11 10 b) 14- 11 6c)2 10+ ++ 62. Cho a, b, 0. Chứng minh đẳng thức 21 1a c+ 63. Giải bất phương trình 2x 16x 60 6- -. 64. Tìm sao cho 2x x- £. 65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của x2 y2 biết rằng x2(x2 2y2 3) (y2 2)2 (1) 66. Tìm để biểu thức có nghĩa: 221 16 xa b) 8x 82x 1x 2x 1-= ++- -. 67. Cho biểu thức 22 2x 2x 2xAx 2x 2x+ -= -- -. a) Tìm giá trị của để biểu thức có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của để 2. 68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số 0, 9999....9 (20 chữ số 9) 69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 2| với 70. Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4 biết rằng xy yz zx 71. Trong hai số và n+1+ (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com 72. Cho biểu thức 3= -. Tính giá trị của theo hai cách. 73. Tính )( )( )( )+ 74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ 3+ 75. Hãy so sánh hai số và b=2 1= 12 và2++ 76. So sánh 2+ và số 0. 77. Rút gọn biểu thức 4Q2 4+ +=+ +. 78. Cho 14 40 56 140= +. Hãy biểu diễn dưới dạng tổng của căn thức bậc hai 79. Tính giá trị của biểu thức x2 y2 biết rằng 2x 1- =. 80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x= +. 81. Tìm giá trị lớn nhất của ()2M b= với a, và 1. 82. CMR trong các số 2b ad 2c ab 2d bc 2a cd+ có ít nhất hai số dương (a, b, c, 0). 83. Rút gọn biểu thức 18= +. 84. Cho xy yz zx+ +, trong đó x, y, 0. Chứng minh z. 85. Cho a1, a2, …, an và a1a2…an 1. Chứng minh: (1 a1)(1 a2)…(1 an) 2n. 86. Chứng minh ()2a 2(a b) ab+ (a, 0). 87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác. 88. Rút gọn a) 2ab aAb b-= b) 2(x 2) 8xB2xx+ -=-. 89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có 22a 22a 1+³+. Khi nào có đẳng thức 90. Tính 5= bằng hai cách. 91. So sánh a) 2và 6,9 b) 13 12 và 65+- 92. Tính 3P2 3+ -= ++ -. 93. Giải phương trình 2x 2x 2+ =. 94. Chứng minh rằng ta luôn có n1.3.5...(2n 1) 1P2.4.6...2n2n 1-= <+ \\"n Z+WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com 95. Chứng minh rằng nếu a, thì 2a ba bb a+ +. 96. Rút gọn biểu thức 2x 4(x 1) 4(x 1)1. 1x 1x 4(x 1)- -æ ö-ç ÷-è ø- -. 97. Chứng minh các đẳng thức sau 1a bab b+= -- (a, b) 14 15 ab) c) a1 1æ ö- -+ -ç ÷- -è (a 0). 98. Tính a) 29 20 b) 13 48- +. c) 48 28 16 48æ ö+ +ç ÷è ø. 99. So sánh và 15 b) 15 và 12 7+ 16c) 18 19 và d) và 5. 252+ 100. Cho hằng đẳng thức 2a ba b2 2+ -± (a, và a2 0). Áp dụng kết quả để rút gọn 2a b)2 17 12 17 12 2+ ++ -+ 10 30 2c) :2 10 1+ -- 101. Xác định giá trị các biểu thức sau 22 2xy 1. 1a Axy 1. 1- -=+ -với 1x b2 bæ ö= +ç ÷è ø(a 1) bx bxb) Ba bx bx+ -=+ với ()22amx 1b m= <+. 102. Cho biểu thức 222x 1P(x)3x 4x 1- -=- a) Tìm tất cả các giá trị của để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu thì P(x).P(- x) 0. 103. Cho biểu thức 2x 2A4 41x x+ -=- +.WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên để biểu thức là một số nguyên. 104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: 2a b) (x 0) c) d) 4- 21e) 3x g) 2x 2x 2x i)2x 3- +- 105. Rút gọn biểu thức 2x 2x 1= -, bằng ba cách 106. Rút gọn các biểu thức sau 48 10 3+ b) 10 10 c) 94 42 94 42 5+ +. 107. Chứng minh các hằng đẳng thức với a) ()2a b+ b) 2a ba b2 2+ -± 108. Rút gọn biểu thức 2x 2x 4= 109. Tìm và sao cho 2+ 110. Chứng minh bất đẳng thức ()()2 22 2a d+ +. 111. Cho a, b, 0. Chứng minh 2a cb 2+ ++ ³+ +. 112. Cho a, b, 1. Chứng minh 3, b) 6+ £. 113. CM ()()()()2 2a (a b)(c d)+ với a, b, c, 0. 114. Tìm giá trị nhỏ nhất của x= +. 115. Tìm giá trị nhỏ nhất của (x )(x b)Ax+ +=. 116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 2x 3y biết 2x2 3y2 5. 117. Tìm giá trị lớn nhất của x-. 118. Giải phương trình 5x 3x 2- 119. Giải phương trình 2+ 120. Giải phương trình 23x 21x 18 7x 2+ 121. Giải phương trình 23x 6x 5x 10x 14 2x x+ 122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ 3- 123. Chứng minh 2- £. 124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học 2a b(a c)+ với a, b, 0.WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com 125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd+ với a, b, c, 0. 126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác. 127. Chứng minh 2(a b) ba a2 4+ ++ với a, 0. 128. Chứng minh c2b b+ >+ với a, b, 0. 129. Cho 2x 1- =. Chứng minh rằng x2 y2 1. 130. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1= 131. Tìm GTNN, GTLN của x= +. 132. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2A 2x 5= 133. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2A 4x 12 2x 3= +. 134. Tìm GTNN, GTLN của ()2 2a 2x b) 99 101 x= 135. Tìm GTNN của biết x, thỏa mãn b1x y+ (a và là hằng số dương). 136. Tìm GTNN của (x y)(x z) với x, y, xyz(x z) 1. 137. Tìm GTNN của xy yz zxAz y= với x, y, 1. 138. Tìm GTNN của 2x zAx x= ++ biết x, y, xy yz zx 1+ =. 139. Tìm giá trị lớn nhất của a) ()2A b= với a, b) ()()()()()()4 4B d= với a, b, c, và 1. 140. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3x 3y với 4. 141. Tìm GTNN của cAc b= ++ với b, a, 0. 142. Giải các phương trình sau 2a 5x 3x 12 b) 4x c) 4x 3x 1- d) e) g) 2x 2x 2- i) 1+ 2k l) 2x 8x 2x 2- 2m) n) 10 5+ ()()2o) 3x 2x- -WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com p) 2x 2x 2+ +. 2q) 2x 9x 2x 2x 21x 11- 143. Rút gọn biểu thức ()()A 18 20 2= +. 144. Chứng minh rằng, \\"n Z+ ta luôn có ()1 11 .... 12 n+ -. 145. Trục căn thức mẫu 1a b)1 1+ +. 146. Tính 29 20 b) 13 48 c) 29 12 5- 147. Cho ()()a 10 2= -. Chứng minh rằng là số tự nhiên. 148. Cho 2b17 12 17 12 2- += -- +. có phải là số tự nhiên không 149. Giải các phương trình sau ()()()()()a b) 35 3c) d) 55 3- -- -= =- 150. Tính giá trị của biểu thức 12 29 25 21 12 29 25 21= 151. Rút gọn 1A ...1 n= ++ +. 152. Cho biểu thức 1P ...2 2n 2n 1= +- a) Rút gọn P. b) có phải là số hữu tỉ không 153. Tính 1A ...2 100 99 99 100= ++ +. 154. Chứng minh 11 ... n2 n+ >. 155. Cho 17 1= -. Hãy tính giá trị của biểu thức: (a5 2a4 17a3 a2 18a 17)2000. 156. Chứng minh 3- (a 3) 157. Chứng minh 21x 02- (x 0) 158. Tìm giá trị lớn nhất của 2= biết 4. 159. Tính giá trị của biểu thức sau với 2a 2aa A41 2a 2a+ -= ++ -.WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU www.MATHVN.com 10 160. Chứng minh các đẳng thức sau ()()()a 15 10 15 b) 1+ ()()()2c) 10 d) 48 e) 17 22- -161. Chứng minh các bất đẳng thức sau 5a 27 48 b) 10 05 5+ -+ <- 1c) 0, 1, 01 031 5æ ö+ -+ >ç ÷+ -è 1d) 02 2æ ö+ -+ >ç ÷+ +è e) 1, g) 17 12 1+ ()()2 2h i) 0, 84+ -+ 162. Chứng minh rằng 12 1n+ -. Từ đó suy ra: 12004 ... 20052 1006009< 163. Trục căn thức mẫu 32 3a b)2 4+ ++ +. 164. Cho 2x và y=3 2+ -=- +. Tính 5x2 6xy 5y2. 165. Chứng minh bất đẳng thức sau 2002 20032002 20032003 2002+ +. 166. Tính giá trị của biểu thức 2x 3xy yAx 2- +=+ với và 5= -. 167. Giải phương trình 26x 33 xx x-= -- -. 168. Giải bất các pt a)13 5x 72 b) 10x 14 c) 2x 44+ ³. 169. Rút gọn các biểu thức sau 1a 29 12 b) (a 1) aa-= 22 2x 5x xc) d) D2x 3x (x 2) x+ -= =-