Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

Doc24.vnSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÀNH PHỐ ĐÀ NẴNGĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9NĂM HỌC 2010-2011Môn thi: TOÁNThời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)Bài 1. 2,0 điểm )Cho biểu thức: 2a 1Ma a+ -= +- với 0, 1.a) Chứng minh rằng 4. b) Với những giá trị nào của thì biểu thức 6NM= nhận giá trị nguyên?Bài 2. 2,0 điểm a) Cho các hàm số bậc nhất: 0, 5x 3= x= và mx= có đồ thị lầnlượt là các đường thẳng (d1 ), (d2 và m ). Với những giá trị nào của tham số thìđường thẳng m cắt hai đường thẳng (d1 và (d2 lần lượt tại hai điểm và saocho điểm có hoành độ âm còn điểm có hoành độ dương?b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho và là hai điểm phân biệt, di động lầnlượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cốđịnh I(1 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của và tung độ của N; từ đó, suyra giá trị nhỏ nhất của biểu thức 21 1.QOM ON= +Bài 3. 2,0 điểm )a) Giải hệ phương trình: 17 20112 .+ =ìí- =îx xyx xy b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, sao cho: 1x 3).2+ +Bài 4. 3,0 điểm Cho đường tròn với tâm và đường kính AB cố định. Gọi là điểm di độngtrên sao cho không trùng với các điểm và B. Lấy là điểm đối xứng của Oqua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại cắt đường thẳng AM tại N. Đườngthẳng BN cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắtnhau tại F.a) Chứng minh rằng các điểm A, E, thẳng hàng.b) Chứng minh rằng tích AM AN không đổi.c) Chứng minh rằng là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.Bài 5. 1,0 điểm Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.---HẾT---Doc24.vnHọ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ........................Chữ ký của giám thị 1: ............................. Chữ ký của giám thị 2: ...........................Doc24.vnSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9NĂM HỌC 2010-2011Môn thi: TOÁNHƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9. Các Giám khảo thảo luậnthống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thểphân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câukhông được thay đổi. Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thểđể việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác. Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thìbài làm đúng đến nào giám khảo cho điểm đó.Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đàotạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT. BÀI-Ý ĐỀ -ĐÁP ÁN ĐIỂMBài Cho biểu thức: 2a 1Ma a+ -= +- với 0, 1.a) Chứng minh rằng 4.> b) Với những giá trị nào của thì biểu thức 6NM= nhận giá trị nguyên.2,00 1.a(1,25đ) Do 0, nên: 1)(a 1) 1a 1) a- += =- và0,252a (a 1)(a 1) (a 1) (a 1)(a 1) 1a (1 a) (1 a- -= =- -0,25 1M 2a+= +0,25Do 0; 1> nên: 2( 1) a- >0,25 aM 4a> =0,251.b(0,75đ) Ta có 30 NM 2< do đó chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 10,25Mà a1a a=+ 0- 2( 2) 3- hay 3= (phù hợp)0,25Vậy, nguyên 2a (2 3)= ±0,25Bài 2a) Cho các hàm số bậc nhất: 0, 5x 3= x= và mx= có đồ thị lần lượtlà các đường thẳng (d1 ), (d2 và m ). Với những giá trị nào của tham số thì đườngthẳng m cắt hai đường thẳng (d1 và (d2 lần lượt tại hai điểm và sao cho điểm Acó hoành độ âm còn điểm có hoành độ dương?b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho và là hai điểm phân biệt, di động lần lượt 2,00Doc24.vntrên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố địnhI(1 2). Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của và tung độ của N; từ đó, suy ra giátrị nhỏ nhất của biểu thức 21 1.QOM ON= +2.a(0,75đ) Điều kiện để m là đồ thị hàm số bậc nhất là 00,25Phương trình hoành độ giao điểm của (d1 và m là:0, 5x mx+ (m 0, 5)x 3- Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là 0, hay 0, 5- <0,25Phương trình hoành độ giao điểm của (d2 và m là:6 mx- (m 1)x 6+ =Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là hay 1+ -Vậy điều kiện cần tìm là: 0, 5; 0- 0,252.b(1,25đ) Đặt xM và yN và (*)Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, có dạng: ax+b 0,25 am b2 bn b= +ìï= +íï=î hệ thức liên hệ giữa và là 2m mn =0,25Chia hai vế cho ta được: 21m n+ (**) 22 21 11 5m mn næ ö= -ç ÷è ø0,25 21 1Q ;m 5= dấu “=” xảy ra khi 1;m n= kết hợp (**): 5, 2,5 (thỏa (*))0,25Vậy giá trị nhỏ nhất của là 15 0,25Bài a) Giải hệ phương trình: 17 20112 .ì+ =ïí- =ïîx xyx xy (1) b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, sao cho: 1x 3)2+ (2)2,0 đ3.a(1,25đ) Nếu 0xy> thì 17 21 1007920119490(1)1 91 490310079xy xyyy xxììì+ ===ïïïï ïÛ Ûí íï ï- ==ïï ïîîî (phù hợp)0,50Nếu 0í íï ï- == -ï ïîî (loại)0,25Nếu 0xy= thì (1)0x yÛ (nhận).0,25KL: Hệ có đúng nghiệm là (0; 0) và 9;490 1007æ öç ÷è ø0,253.bĐiều kiện 0; 0; 0,25Doc24.vn(0,75đ) (2) 3+ 2( 1) 1) 1) 0- =0,25 1y 1z 1ì=ïï- =íï- =ïî 1y 3z 2=ìï=íï=î (thỏa điều kiện)0,25Bài Cho đường tròn với tâm và đường kínhAB cố định. Gọi là điểm di động trên )sao cho không trùng với các điểm và B.Lấy là điểm đối xứng của qua A. Đườngthẳng vuông góc với AB tại cắt đường thẳngAM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn )tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM vàCN cắt nhau tại F.a) Chứng minh rằng các điểm A, E, thẳnghàng.b) Chứng minh rằng tích AM AN không đổi.c) Chứng minh rằng là trọng tâm của tamgiác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.C( )FENCOABM 3,0 đ4.a(1,00đ)MN BF^ và BC NF^0,25 là trực tâm của tam giác BNF 0,25 FA NB^Lại có AE NB^0,25Nên A, E, thẳng hàng 0,254.b(0,75đ)··CAN MAB= nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.0,25Suy ra: AN ACAB AM=0,25Hay 2AM AN AB AC 2R không đổi (với là bán kính đường tròn ))0,254.c(1,25đ) Ta có 2BA BC3= nên là trong tâm tam giác BNF là trung điểm NF (3)0,25Mặt khác: ··CAN CFM= nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng 2CN ACCN CF BC AC 3RBC CF= 0,25Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF CN CF 2R 3= không đổi0,25Nên: NF ngắn nhất CN =CF là trung điểm NF (4)0,25(3) và (4) cho ta: là trong tâm tam giác BNF NF ngắn nhất0,25Bài Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. 0,75 (1,00đ) Đặt: 10 11 12 100S= 11 12 (1) là một số nguyên hai chữ số tận cùng của là 00 0,50Doc24.vnMặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số vế phải của (1), nếu chỉ để ýđến chữ số tận cùng, ta thấy 100 có chữ số tận cùng là (vì 4=12; 6=12; 7=14;4 8=32; 9=18; 11=88; 12=96) 0,25Vậy ba chữ số tận cùng của là 600 0,25--- Hết ---Doc24.vn3.b(0,75đ) Điều kiện 0; 0; 0,25Theo BĐT Cauchy: 1x x2 2+ +£ 1VP 3) VT2= =0,25 Do đó 1y 1z 1ì=ïï- =íï- =ïî 1y 3z 2=ìï=íï=î thỏa điều kiện0,25 PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN (ĐỀ SỐ 3) năm học 2011 2012 Môn TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)Bài 3,0 điểm)Cho các số dương: a; và =122+bab Xét biểu thức bxaxaxaxa31+--+-++1. Chứng minh xác định. Rút gọn P.2. Khi và thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.Bài (3,0 điểm)Tìm x; y; thoả mãn hệ sau:ïîïíì-=---=---=--xzzzyyyxx36232423223333Bài 3,0 điểm)Với mỗi số nguyên dương 2008, đặt Sn +b với =253+ =253-.1. Chứng minh rằng với 1, ta có Sn (a b)( 1) ab(a n)2. Chứng minh rằng với mọi thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.3. Chứng minh Sn 2215215÷÷øöççèæ--÷÷øöççèæ+nn Tìm tất cả các số để Sn –2 là số chính phương.Bài (5,0 điểm)Cho đoạn thẳng AB và điểm nằm giữa điểm và điểm sao cho AE BE.Vẽ đường tròn (O1 đường kính AE và đường tròn (O2 đường kính BE. Vẽ tiếptuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với là tiếp điểm thuộc (O1 và Nlà tiếp điểm thuộc (O2 ).Doc24.vn1. Gọi là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằngđường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.2. Với AB 18 cm và AE cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đườngthẳng MN cắt đường tròn (O) và D, sao cho điểm thuộc cung nhỏ AD. Tínhđộ dài đoạn thẳng CD.Bài (4đ): Cho ABC đường thẳng cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự Là E, a) Chứng minh ANAMAFACAEAB2=+b) Giả sử đường thẳng // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC.Bài (2 điểm) Cho a, b,c <1 .Chứng minh rằng accbbacba2223333222+++<++------------- HẾT-------------HƯỚNG DẪN CHẤM: ĐỀ SỐ 3Câu 1. (3,0 điểm)Tóm tắt lời giải Điểm1. (2.0 điểm)Ta có: a; b; (1)Xét =01)1(22³+-bba (2)Ta có 0--+xaxa (3)Từ (1); (2); (3) xác địnhRút gọn:Ta có: =1)1(12222++=++bbababa 1)1(2++=+babxa =1)1(12222+-=+-bbababa 112+-=-babxa bbbbbbbabbabbabbab31111131111)1(111)1(2222+--+-++=++--+++-+++ Nếu =bbb343122=+ Nếu 1³ bbbb313312+=+2. (1.0 điểm)Xét trường hợp: 0,250,250,250,250,250,250,250,25Doc24.vn Nếu 1, dương tuỳ thì b3 43> Nếu 1³, dương tuỳ thì 3231331bbbbb+÷øöçèæ+=+ Ta có: 32313³+bb dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1Mặt khác: 3232³b dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1Vậy 343232=+³, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1KL: Giá trị nhỏ nhất của =34 0,250,250,250,25Câu (3,0 điểm)Tóm tắt lời giải ĐiểmBiến đổi tương đương hệ ta cóïîïíì-=+--=+--=+-)2(3)1)(2()2(2)1)(2(2)1)(2(222xzzzyyyxxNhân các vế của phương trình với nhau ta được:(x 2)(y 2) (z 2)(x+1) 2(y+1) 2(z+1) 2= 6(x 2)(y 2) (z 2)Û(x 2)(y 2) (z 2)6)1()1()1(222++++zyx 0Û(x 2)(y 2) (z 2) 0Ûx hoặc hoặc 2Với hoặc hoặc thay vào hệ ta đều có 2Vậy với thoả mãn hệ đã cho 1,000,500,250,250,250,500,25Câu (3,0 điểm)Tóm tắt lời giải Điểm1. (1,0 điểm)Với thì Sn n+2 n+2 (1)Mặt khác: (a b)( +b 1) ab(a +b n) n+2 n+2 (2)Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh2. (1.0 điểm)Ta có: S1 3; S2 7Do =3; ab =1 nên theo ta có: với thì Sn+2 3Sn+1 SnDo S1 S2 nên S3 do S2 S3 nên S4 ZTiếp tục quá trình trên ta được S5 S6 ;...; S2008 Z3. (1.0 điểm) 0,250,500,250,250,250,250,250,25Doc24.vnTa có Sn 22125212522-÷÷øöççèæ-+÷÷øöççèæ+nn nnn÷÷øöççèæ-÷÷øöççèæ+-÷÷øöççèæ-+÷÷øöççèæ+215215221521522 =2215215÷÷øöççèæ--÷÷øöççèæ+nn đpcmĐặt a1 =215+ b1 215- a1 b1 a1 b1 1Xét Un 1n na b-Với thì Un+2 (a1 b1 )(a1 n+1 b1 1) a1 b1 (a1 b1 n) Un+2 Un+1 UnTa có U1 U2 U3 U4 35 ;...Tiếp tục quá trình trên ta được Un nguyên Ûn lẻVậy Sn là số chính phương Ûn 2k+1 với và ££ k1003 0,250,250,25Câu (5,0 điểm)Tóm tắt lời giải Điểm1. (2,5 điểm) O1 M; O2 ^MN O1 M/ O2 Do O1 E; O2 thẳng hàng nên MO1 NO2 BCác tam giác O1 ME; O2 NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có: MEO1 NBO2 (1)Mặt khác ta có: AME 90 MAE MEO1 90 (2) MAE NBO2 90 AFB 90 Tứ giác FMEN có góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật 0,250.250,250,250,500,250,250,250,25FO1 O2OEA BC DSTrên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.