Tuyển tập 30 đề thi giáo viên dạy giỏi môn toán THCS


Sưu tầm và tổng hợp

TUYỂN TẬP 30 ĐỀ THI
GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TOÁN THCS

Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019

1

Website:tailieumontoan.com

TUYỂN TẬP 30 ĐỀ THI
GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TOÁN THCS
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán
THCS, website lib24.vn giới thiệu đến thầy c ô t u y ển tập 30 đề thi giáo viên dạy giỏitoán
THCS. Chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp từ các đề thi giáo viên giỏi thực tế của các trườngcác
huyện, tỉnh để làm tuyển tập đề thi này nhằm đáp ứng nhu cầu luyện thi của các thầy cô!
Các vị các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tập đề này để luyện trước các câu hỏi
thường gặp và kĩ năng cần thiết để có một kết quả thi tốt nhất cho mình. Hy vọng tập đề này là cần
thiết và giúp các thầy cô nhiều trong quá trình giảng dạy và công tác của mình.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo thu được kết quả cao nhất từ tuyển tập đề này!

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang)
Đề số 1

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI HUYỆN
ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)

Câu I: (5 điểm)
a) Dạy học theo chủ đề là một hoạt động góp phần thúc đẩy việc đổi mới phương
pháp dạy học định hướng phát triển năng lực học sinh. Anh (chị) hãy nêu các bước xây
dựng một chủ đề dạy học; các hoạt động cần có trong tiến trình dạy học theo chủ đề.
b) Năng lực là gì? Những năng lực chung cần hình thành và phát triển ở học sinh
trung học?
Câu II: (4 điểm) Khái niệm: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc
và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau. (SGK Toán 6, Tập hai - NXB Giáo dục)
Anh (chị) hãy thiết kế hoạt động luyện tập khái niệm trên theo định hướng phát
triển năng lực.
Câu III: (6 điểm) 1. Biết 3a - b = 5. Tính giá trị biểu thức:
5a − b 3b − 3a
Với 2a + 5 ≠ 0 và 2b − 5 ≠ 0.
=
M
−
2a + 5 2b − 5
a. Anh (chị) hãy nêu ba định hướng để học sinh tìm được ba cách giải bài toán trên.
b. Anh (chị) hãy giải và nêu hệ thống câu hỏi hướng dẫn học sinh giải bài toán trên
theo một định hướng.
2. a. Cho bài toán :
Rút gọn biểu thức sau:
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
2016 + 2017
Anh (chị) hãy tổng quát hóa bài toán và giải bài toán tổng quát đó.
b2 + 1
a2 +1
là số nguyên. Chứng minh rằng
cũng
b. Cho các số nguyên a, b sao cho
ab − 1
ab − 1
là số nguyên.
Câu IV: (5 điểm)
40
x + y =
1. Cho hệ phương trình 
(x + 3)(y + 5) = xy + 195
Anh (chị) hãy thiết kế một bài toán thực tế mà khi giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình ta có hệ phương trình trên. Hãy giải bài toán đã thiết kế.
2. Cho bài toán:
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng AM cũng
là đường phân giác của góc BAC.
Anh (chị) hãy thiết lập một bài toán đảo của bài toán đã cho và chứng minh bài
toán đảo.
- Hết Họ và tên thí sinh:…………..………………………. Số báo danh:……………………
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

Câu
I

Ý
a.

Điểm ý
2,5

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI HUYỆN
ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC
Môn: Toán

Nội dung cần đạt

Điểm
1,5

- Các bước XD CĐ DH:
B1. Xác định chủ đề
B2. Xác định mục tiêu chủ đề (KT, KN, TĐ, PTNL)
B3. Xây dựng bảng mô tả mức độ câu hỏi/bài tập
B4. Biên soạn câu hỏi/bài tập
B5. Xây dựng kế hoạch thực hiện chủ đề

1,0

B6. Thiết kế tiến trình dạy học
- Các hoạt động cần có trong tiến trình dạy học theo chủ đề:
+ Hoạt động khởi động
+ Hoạt động hình thành kiến thức
+ Hoạt động luyện tập
+ Hoạt động vận dụng
+ Hoạt động tìm tòi, sáng tạo
b.

2,5

- Năng lực là khả năng vận dụng các kiến thức, kỹ năng, thái độ,
niềm tin, giá trị… vào việc thực hiện các nhiệm vụ trong những
hoàn cảnh cụ thể của thực tiễn. Năng lực được phân thành năng
lực chung và năng lực chuyên biệt

0,5

- Những năng lực chung cần hình thành:

2,0

+ Năng lực tự học
+ Năng lực giải quyết vấn đề
+ Năng lực tư duy, sáng tạo
+ Năng lực giao tiếp, hợp tác
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Website:tailieumontoan.com
+ Năng lực tính toán
+ Năng lực sử dụng CNTT

II

4

+ Năng lực thẩm mỹ
+ Năng lực thể chất
1, Mục tiêu:
- Kiến thức: Củng cố, khắc sâu khái niệm tia phân giác của 1 góc.
- Kỹ năng: HS được rèn luyện kỹ năng vẽ tia phân giác của một
góc, rèn luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ ký hiệu hình học về tia
phân giác của 1 góc; kỹ năng vận dụng khái niệm để giải quyết
những dạng bài tập cụ thể như tính số đo góc , chứng tỏ hai góc
bằng nhau, chứng tỏ tia phân giác của 1 góc,…
-Thái độ: Cẩn thận trong trình bày, linh hoạt trong tư duy, không
lúng túng khi gặp những dạng bài tập cụ thể, biết chia sẻ và hợp
tác tích cực.
- Phát triển năng lực:
+ Năng lực ngôn ngữ, sử dụng kí hiệu hình học: biết được cách
chuyển khái niệm bằng ngôn ngữ lời sang hình vẽ và ba cách kí
hiệu hình học,
+ Năng lực tính toán: tính được số đo góc,
+ Năng lực thực hành: vẽ được tia phân giác của một góc,
+ Năng lực hợp tác: tích cực chia sẻ tốt trong hoạt động chung để
giải quyết các nhiệm vụ được giao.
+ Năng lực tư duy giải quyết vấn đề: định hướng được các điều
kiện cần và đủ để chứng tỏ tia phân giác của một góc, có lập luận
logic trong định hướng tìm ra cách giải quyết bài tập như bài tập
nhận biết, bài tập thông hiểu, vận dụng.
2, Nội dung, nhiệm vụ:
- Giáo viên xây dựng các dạng bài tập:
+ Bài tập rèn luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ hình học nhằm
phát triển năng lực ngôn ngữ, tính toán, thực hành, tư duy và giải
quyết vấn đề:
. Bài tập nhận biết: Nhận biết tia phân giác qua hình vẽ
. Bài tập thông hiểu: Vẽ tia phân giác của 1 góc cho trước.
. Bài tập thông hiểu: Các cách trình bày khác nhau của tia phân
giác của 1 góc bằng ngôn ngữ kí hiệu hình học (3 cách).
+ Bài tập rèn luyện kỹ năng vận dụng khái niệm vào giải quyết
các bài tập: Bài tập tính số đo góc, bài tập chứng minh tia phân
giác của 1 góc.
+ Xây dựng các hình thức tổ chức học tập phù hợp nhằm phát
triển năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác cho học sinh thông qua
hoạt động tương tác giữa học sinh-học sinh, thầy-trò.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

1,0

1,0

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

5

Website:tailieumontoan.com

1a

2,25

III

1b
2a

1,25
1,75

- Học sinh có tinh thần hợp tác tích cực để hoàn thành nhiệm vụ
được giao, chuẩn bị đầy đủ các đồ dùng học tập.
3, Phương thức hoạt động:
Tùy vào điều kiện dạy học, năng lực HS mà sử dụng HĐ nhóm,
HĐ cặp đôi, HĐ cá nhân hay HĐ chung cả lớp để hoàn thành bài
tập. Kết thúc HĐ học sinh trao đổi với GV để được bổ sung, uốn
nắn những nội dung, kĩ năng chưa đúng đồng thời GV chốt
KT,KN cần thiết.
4, Phương tiện hoạt động: Thước thẳng, thước đo góc, phiếu học
tập, máy chiếu.
5, Dự kiến sản phẩm của HS: Kết quả các bài tập yêu cầu ở phần
nội dung, nhiệm vụ.
6, Gợi ý tiến trình dạy học:
- Giao nhiệm vụ học tập cho học sinh thông qua nhiều hình thức
khác nhau.
- HS thực hiện nhiệm vụ trao đổi với bạn hoặc có sự uốn nắn, tư
vấn của GV .
- GV tổ chức cho HS trình bày kết quả .
- Gv cùng HS đánh giá, chốt kiến thức và kĩ năng cần thiết.
(Lưu ý: các bài tập vận dụng kiến vào thực tiễn nằm trong hoạt động
vận dụng và tìm tòi, sáng tạo nên chưa đưa vào hoạt động luyện tập)
Định hướng 1:
5a − b 3b − 3a 2a + (3a − b) 2b − (3a − b)
M=
−
=
−
2a + 5 2b − 5
2a + 5
2b − 5
Biến đổi tử xuất hiện biểu thức 3a-b rồi thay 3a-b = 5.
Tính được M = 0.
Định hướng 2:
Biểu thị b theo a hoặc a theo b.
Từ 3a - b = 5 => b = 3a -5. Tính được M = 0.
Định hướng 3:
Thay số 5 ở mẫu bằng 3a - b.
5a − b 3b − 3a
5a − b
3b − 3a
M=
−
=
−
= 1−1 = 0
2a + 5 2b − 5 2a + (3a − b) 2b − (3a − b)
(Hoặc có thể tính M bằng cách quy đồng rồi làm xuất hiện biểu
thức 3a-b)
GV hướng dẫn học sinh giải theo được một định hướng của mình.
Phát biểu được bài toán tổng quát
1
1
1
1
với n ∈ N*
A=
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n −1 + n
Giải được

0,5

0,25
0,5
0,75

0,75

0,75

0,75

1,25
0,75

0,5
0,5
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

6

Website:tailieumontoan.com
A=

2b

0,75

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n −1 + n

2− 1
3− 2
4− 3
n − n −1
n −1
=
+
+
+ ... +
=
2 −1
3− 2
4−3
n − (n − 1)
Cách giải 1:
a2 +1
∈ Z ⇒ a 2 + 1 ab − 1 ⇒ a 2 b 2 + b 2  ab − 1
ab − 1
⇒ (a 2 b 2 − 1) + (b 2 + 1) ab − 1 ⇒ (ab + 1)(ab − 1) + (b 2 + 1) ab − 1

⇒ (b 2 + 1) ab − 1 ⇒

0,25
0,25

b2 + 1
∈Z
ab − 1

0,25

Cách giải 2
a2 +1
∈ Z ⇒ a 2 + 1 ab − 1 ⇒ (a 2 + 1)(b 2 + 1) ab − 1
ab − 1
⇒ a 2 b 2 + a 2 + b 2 + 1 ab − 1 ⇒ (a 2 b 2 − 1) + (a 2 + 1) + (b 2 + 1) ab − 1

0,25
0,25

⇒ (ab + 1)(ab − 1) + (a 2 + 1) + (b 2 + 1) ab − 1
b2 + 1
∈Z
ab − 1
Thiết kế được bài toán
Ví dụ: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 80 mét, nếu
tăng chiều dài 3 mét và chiều rộng 5 mét thì diện tích mảnh vườn
tăng thêm 195 m2. Tính các kích thước của mảnh vườn.
Giải được bài toán này
Thiết lập được bài toán đảo
Cách 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AM của
góc BAC. Chứng minh rằng AM cũng là đường trung tuyến của
tam giác ABC .
Cách 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AM của góc BAC
cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng
tam giác ABC cân tại A.
⇒ (b 2 + 1) ab − 1 ⇒

IV

1

2

3,0

2,0

0,25
1,5

1,5
1,0

A

B

Chứng minh được bài toán đảo của mình

C
M

D

1,0

Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm.

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

7

Website:tailieumontoan.com
ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC GIÁO VIÊN
CỦA HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THCS
Năm̀: 2015 - 2016
Môn: Toán học
Thời gian làm bài: 120 phút

UBND THỊ XÃ THÁI HÒA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề số 2
Câu 1: (5,0 điểm)

a) Nêu các bước để xây dựng phân phối chương trình môn học mà thầy (cô) đang giảng
dạy?
b) Nêu một số khó khăn cần khắc phục khi đổi mới sinh hoạt chuyên môn theo nghiên
cứu bài học?
Câu 2: (6,0 điểm)
a) Hãy trình bày cụ thể con đường khi dạy định lý Vi - ét trong sách giáo khoa toán 9
hiện hành. Vận dụng định lý Vi - ét hãy giải bài toán sau:
Cho phương trình x2 + ( m2 + 1 ). x + m = 2

(với m là tham số )

Hãy tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
2 x1 − 1 2 x2 − 1
55
+
=
x1 x2 +
x2
x1
x1 x2

b) Hãy nêu hai định hướng để học sinh tìm ra cách giải bài toán sau và hướng dẫn học sinh giải
bài toán theo một trong hai cách đã định hướng.
Cho A(n) = n5 – n (với n là số nguyên). Chứng minh A(n) chia hết cho 30
Câu 3: (4,0 điểm) Một học sinh có lời giải của một bài toán như sau:
Đề bài: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x +
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 32 ⋅
Lời giải: Từ x > 0, y > 0 ta có

1
≤ 1.
y
x
y
+ 2015 ⋅
y
x

x y
+ ≥2
y x
2


1
1
y
1
Theo bài ra x + ≤ 1 nên ta có 1 ≥  x +  ≥ 4 ⋅ x ⋅ ⇒ ≥ 4
y
y
x
y

 x y
y
Do vậy M
= 32  +  + 1983 ⋅ ≥ 32.2 + 1983.4
= 7996
x
 y x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7996
Thầy (cô) hãy chỉ ra các sai lầm trong lời giải trên và giải lại cho đúng.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

8

Website:tailieumontoan.com
Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R và M là một điểm bất kỳ thuộc
nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By tại A và B của
đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
 = 900
a) Chứng minh: COD
b) Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh: ∆KMO  ∆AMD
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
1. Thầy (cô) hãy giải bài toán trên.
2. Hãy xây dựng và chứng minh bài toán đảo của bài toán ở câu a?
_________________________Hết_______________________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

9

Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD&ĐT THÁI HÒA

HƯỚNG DẪN CHÂM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI

BẬC THCS

Môn: TOÁN

Câu

B.điểm

Nội dung

5,0

Câu 1
a

Bước 1: Xác định nguyên tắc xây dưng phân phối chương trình môn học

2,5

Bước 2: Nghiên cứu thực hiện
Bước 3: Xây dựng kế hoạch dạy học cho mỗi môn học/ lớp học theo định
hướng mới.
Bước 4: Duyệt của hiệu trưởng
Bước 5: Đánh giá kết quả, rút kinh nghiệm, bổ sung
Bước 6: Thực hiện
b

- Thái độ của GV đối với SHCM: nhiều GV hoài nghi về tác dụng chuyên môn 2,5
và sợ các đồng nghiệp tấn công mình.
- Tiến hành bài học minh hoạ: GV dạy như là diễn tập và không để ý đến HS
gặp khó khăn như thế nào.
- Dự giờ bài học: các GV dự chỉ chú ý đến GV dạy và họ thích ngồi ở đằng
sau và ít chú ý đến HS.
- Suy ngẫm về bài học: có nhiều GV có thái độ phê phán người dạy, hay ca
ngợi rõ ràng nhưng không chi tiết.
- Các GV chưa thực sự hợp tác cùng nhau xây dựng kế hoạch bài học.
- Thái độ của GV không phải là hoà đồng, bình đẳng, sẵn sàng học hỏi, hợp
tác mà lại là phê phán, đánh giá, làm mất đi tính nhân văn của NCBH.
6,0

Câu 2
a

+) Nêu trình tự các hoạt động cụ thể theo một trong hai con đường
- Con đường có khâu suy đoán: Tạo động cơ; phát hiện định lí; phát biểu định
lý; chứng minh định lí; vận dụng định lý
- Con đường suy diễn: Tạo động cơ; suy luận logic dẫn tới định lý; phát biểu

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

10

Website:tailieumontoan.com
định lý; củng cố định lý

1,5

+) Vận dụng giải bài tập toán:
Vì ∆
= m 4 + 2m 2 − 4m + =
9 m 4 + 2(m − 1) 2 + 7 > 0 với mọi m
Nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.

x + x =
−(m 2 + 1)
Theo hệ thức Vi-ét ta có  1 2
 x1.x2= m − 2
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
2 x1 − 1 2 x2 − 1
55
(*) là x1x2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2
+
=
x1 x2 +
x2
x1
x1 x2
Từ (*) ⇒ 2( x12 +x22 ) - ( x1 + x2 ) = x12 x22 + 55
⇔ 2[( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] - ( x1 + x2 ) = x12 x22 + 55
⇔ 2[ - (m2 +1)]2 - 4(m - 2) + m2 +1 = (m - 2)2 + 55
 m = 2 (KTM)
⇔ m4 + 2m2 - 24 = 0 ⇔ 
 m = -2 ( TM )
1,5
b

Định hướng: (VD)
Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq với
(p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p và A(n) q.
Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể biến đổi A(n) thành tổng (hiệu)
1,5
của nhiều hạng tử, trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k.
Hướng dẫn HS giải theo một trong hai cách đã định hướng
Cách 1:
A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1)  6
n = 5k + 1 => (n - 1)  5
n = 5k + 4 => (n + 1)  5.
n = 5k + 2 => n2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = (25k2 + 20k + 4 + 1)  5
n = 5k + 3 => n2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = (25k2 + 30k + 9 + 1)  5
Vậy: A(n) chia hết cho 6 và 5 mà (6, 5) = 1 nên phải chia hết cho 30.

1,5

Cách 2:
A(n) = n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5)
= n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n - 1)(n + 1)
Chứng minh (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên
chia hết cho 5, cho 6, mà (5,6) = 1 nên (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) chia hết cho
5.6
Chứng minh 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5.6
Suy ra A(n) chia hết cho 30
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

11

Website:tailieumontoan.com
4,0

Câu 3
+) Chỉ ra các sai lầm:
- Với x > 0, y > 0 ta có

x y
+ ≥ 2 đẳng thức xảy ra khi x = y nhưng
y x

2


y
1
1
1 ≥  x +  ≥ 4 ⋅ x ⋅ ⇒ ≥ 4 đẳng thức xảy ra khi y=4x
y
y
x

1
1
- Khi x = y thì giả thiết x + ≤ 1 trở thành x + ≤ 1 không xảy ra
y
x

1,0

1,0

+) Giải lại cho đúng:
2


1
1
y
Từ giả thiết ta có: 1 ≥  x +  ≥ 4 ⋅ x ⋅ ⇒ ≥ 4 . Mặt khác áp dụng bất đẳng
y
y
x

32 x 2 y
32 x 2 y
thức Cauchy ta có:
+
≥2
⋅
=
16
y
x
y
x
1,0
 32 x 2 y 
y
Do đó M
= 
+
= 8068
 + 2013 ⋅ ≥ 16 + 4.2013
x 
x
 y
 y = 4x
1


x =
2
Đẳng thức xảy ra khi 
⇔
2
1
+
=
x
1


 y = 2
y

Vậy M nhỏ nhất là 8068

1,0
5,0

Câu 4

3,0

1) Giải bài toán
y

x

D

K
M

C

A

a

H

O

B

Vì CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C; DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau
tại D. Nên theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OC, OD lần lượt là hai tia
 = 900
phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM nên: COD

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

1,0

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

12

Website:tailieumontoan.com
 hoặc 
)
 = ODM
(Chứng minh được KAM
AKM = MOD
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MB vuông góc với OD, suy ra
 ( cùng phụ với góc BMD)
 = OMB
MDO
Ta có ∆AMB vuông tại M (nội tiếp (O) có cạnh AB là đường kính)
=
 (đồng vị)
Nên AM vuông góc với MB, suy ra AM // OD ⇒ CMA
MDO
 = KAM
 (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà CMA
 = ODM

Do đó: KAM


 = ODM

Xét ∆AKM và ∆DOM có KMA
= OMD
= 900 và KAM
MA MD
(1)
Nên ∆AKM  ∆DOM (gg) Suy ra:
=
MK MO

Mặt khác
(2)
KMO
= 
AMD
= 900 + 
AMD
Từ (1) và (2) , suy ra ∆KMO  ∆AMD (cgc)

1,0

Gọi diện tích của tứ giác ABDC là S, diện tích các tam giác AMB, ACM, BDM
lần lượt là S1; S2; S3. Ta có S2+S3 = S - S1
Ta có tứ giác ABDC là hình thang vuông nên
S = (AC+BD).R = R.(CM+DM)
Mà ∆OCD vuông tại O có OM là đường cao. Theo hệ thức lượng trong tam
giác vuông, có: OM2 = CM.DM
Mặt khác (CM - DM)2 ≥ 0  (CM + DM)2 ≥ 4CM.DM
 CM+DM ≥ 2R. Suy ra S ≥ 2R2
Dấu “=” xảy ra khi MC = MD hay M là điểm chính giữa của nửa đường tròn
(O)
Từ M kẻ MH ⊥ AB. Ta có S1 = R.MH ≤ R.OM = R2
Dấu “ = “ xảy ra khi điểm H trùng với điểm O hay M là điểm chính giữa của
nửa đường tròn (O)
Suy ra S - S1 ≥ 2R2 - R2 = R2
Vậy GTNN của S2+S3 là R2 khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O)

1,0
2,0

2) Xây dựng và chứng minh bài toán đảo
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax và By tại A và B
 = 900 . Chứng
của nửa đường tròn (O) lần lượt lấy 2 điểm C và D sao cho COD

1,0

minh CD là tiếp tuyến của (O)

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

13

Website:tailieumontoan.com
C
N
M
D

A
O

B

Từ O kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại N
Vì tứ giác ABDC là hình thang và OA = OB nên NC = ND
Suy ra NC = ND = NO (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)
 = NCO
 , mà ON//AC nên 
 suy ra 

NOC
ACO = NCO
ACO = NCO

1,0

∆MCO (cạnh huyền- góc nhọn)
Từ O kẻ OM vuông góc với CD => ∆ACO =
=> OM = AO = R
Vậy CD là tiếp tuyến của (O)

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

14

Website:tailieumontoan.com
UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
Đề chính thức

KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN
THCS HÈ 2012
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút

Đề số 3
Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình: (2m − 1) x 2 − 4mx + 4 =
0 ( m là tham số) (1).
Xác định m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 = 3 x2 .
c) Phương trình (1) có hai nghiệm nhỏ hơn 3.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình, hệ phương trình:
a) 5 x + 1 − x + 1 =
2.
2
2
 x − 3 xy + 2 y =
−1
b)  2
9
 x + 2 − 3 y =
Câu 3 (2,0 điểm).

m
3 x + my =
(m − 1) x + 2 y =m − 1

a) Cho hệ phương trình: 

( m là tham số)

Xác định m để hệ phương có nghiệm duy nhất ( x, y ) thoả mãn: x + y 2 =
1.
b) Chứng minh rằng số

n + n + 4 không phải là số nguyên dương với mọi số

nguyên dương n.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính
giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt
AB tại C. Chứng minh rằng:
a) MB.BD = MD.BC
b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c =
1. Tìm giá trị lớn nhất
ab
ac
bc
1
của biểu thức Q =
+
+
−
.
c + ab b + ac a + bc 4abc
-----HẾT-----Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD………………
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

15

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN CHẤM
KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN HÈ 2012
Môn: Toán
Câu 1 (2,0 điểm)
a) 0,75 điểm
Nội dung trình bày
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1

a ≠ 0
 2m − 1 ≠ 0
m ≠
⇔ '
⇔ 2
⇔
2
∆ > 0
 4 m − 8m + 4 > 0
4(m − 1) 2 > 0


Điểm
0,5

1

1
m ≠
⇔
2 . Vậy với m ≠ và m ≠ 1 thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt
2
m ≠ 1

0,25

b) 0,75 điểm
Điểm
Phương trình có 2 nghiệm ⇔ m ≠
4m

 x1 + x2 =
2m − 1

4

 x1 x2 =
2m − 1

 x1 = 3 x2



(1)

0,25

(2)
(3)

Thay (3) vào (1) ta được
x2
=
Thay
=
x2

1
. Theo Vi-ét và giả thiết, ta có hệ:
2

m
3m
, x1
=
2m − 1
2m − 1

m
3m
vào PT (2) ta được phương trình 3m 2 − 8m + 4 =
0.
=
, x1
2m − 1
2m − 1

Giải PT ta được=
m1 2,=
m2

2
(thỏa mãn điều kiện)
3

2
KL: Với=
thì PT có nghiệm x1 = 3 x2 .
m1 2,=
m2
3

0,25

0,25

c) 0,5 điểm
Nội dung trình bày
Phương trình có 2 nghiệm ⇔ m ≠

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

Điểm

1
.
2

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

16

Website:tailieumontoan.com

 x1 < 3
( x1 − 3)( x2 − 3) > 0
 x1 x2 − 3( x1 + x2 ) + 9 > 0
Ta có 
⇔
⇔
 x2 < 3
 x1 − 3 + x2 − 3 < 0
 x1 + x2 − 6 < 0
Một số lưu ý:
-Trên đây chỉ trình tóm tắt một cách giải với những ý bắt buộc phải có. Trong quá
trình chấm, nếu GV giải theo cách khác và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
-Trong quá trình giải bài của GV nếu bước trên sai, các bước sau có sử dụng kết quả
phần sai đó nếu có đúng thì vẫn không cho điểm.
- Bài hình học, nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
- Những phần điểm từ 0,5 trở lên, tổ chấm có thể thống nhất chia tới 0,25 điểm.
Ta có: c + ab =c(a + b + c) + ab =(c + a )(c + b)
Tương tự : b + ac = (b + a )(b + c) ; a + bc = (a + b)(a + c)
ab
ac
bc
ab
ac
bc
1
1
Do đó: Q =
+
+
−
=
+
+
−
c + ab b + ac a + bc 4abc (c + a)(c + b) (b + a)(b + c) (a + b)(a + c) 4abc

ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c)
1
a 3 + b3 + b3 + c 3 + c 3 + a 3
1
−
≤
−
(a + b)(b + c)(c + a )
4abc
8abc
4abc
3
3
y)
(Áp dụng BĐT: AM-GM; BĐT x + y ≥ xy ( x + y ) với x, y > 0, dấu bằng xảy ra ⇔ x =
a 3 + b3 + c 3
1
−
4abc
4abc
Lại có a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) + 3abc =1 − 3(ab + bc + ca ) + 3abc
1)
(do a + b + c =

=

a 3 + b3 + c 3
1
−3(ab + bc + ca) + 3abc −9 3 a 2b 2 c 2 + 3abc
−
≤
Bởi vậy Q ≤ =
4abc
4abc
4abc
4abc
1  −9
 1
= 3
+ 3  ≤ . ( −27 + 3) =
−6
4  abc
 4
a+b+c 1
( A/d BĐT AM-GM: 3 abc ≤
và ab + bc + ca ≥ 3 3 a 2b 2 c 2 )
=
3
3
1
Vậy Max Q = −6 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= .
3
Bµi 4: (3,0 ®iÓm)

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

17

Website:tailieumontoan.com
a) Xét ∆MBC và ∆MDB có:

 = MBC
 (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)
BDM
 = BMD

BMC

Do vậy ∆MBC và ∆MDB đồng dạng Suy ra

MB MD
= ⇒ MB.BD =
MD.BC
BC
BD


BJC
2

= 2MBC
 hay ⇒ MBC
= 2BDC
=
b) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp ∆BDC ⇒ BJC

180 0 − BJC

∆BCJ c©n t¹i J ⇒ CBJ =
2
O


 + CBJ
 = BJC + 180 − BJC = 90 O ⇒ MB ⊥ BJ
Suy ra MBC
2
2
Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
c) Kẻ đường kính MN của (O) ⇒ NB ⊥ MB
Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ∆ADC
Chứng minh tương tự I thuộc AN

 ⇒ CJ // IN



Ta có ANB
= ADB
= 2BDM
= BJC
Chứng minh tương tự: CI // JN

Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành ⇒ CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (J) là:
IC + JB = BN (không đổi)

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

18

Website:tailieumontoan.com

UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÀ ĐỘI
TUYỂN DỰ THI GVGD CẤP TỈNH CHU KỲ 2012 – 2016
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề )

Đề số 4
( Đề thi gồm 01 trang )
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a. Theo anh ( chị ) bài tập toán có những chức năng nào?
b. Anh (chị) hãy cho biết những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề.
Bài 2: ( 1.0 điểm)
Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãn x 2 + 3 y =
257 . Một học sinh đã giải như sau:
Vì x 2 là số chính phương nên x 2 chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
Mặt khác: 3 y chia hết cho 3 nên x 2 + 3 y chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y ∈ 𝑁 để x 2 + 3 y =
257 .

Anh ( chị ) hãy chỉ ra sai lầm trong lời giải trên và giải lại cho đúng.

Bài 3: ( 1.5 điể )
a. Tìm số nguyên dương x để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố: P = x 4 + x 2 + 1
Anh ( chị ) hãy giải và hướng dẫn học sinh giải bài toán trên.
b. Giải phương trình sau:

x2 − 1 − 2 x +=
1 3 x −1 − 6

Bài 4: ( 2.0 điểm )
a. Cho 2a = 3b = 4c. Chứng minh rằng: 2 ( a − c ) = 9 ( a − b )( b − c )
2

0 (m là tham số) . Tìm m để phương trình có
b. Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) + m 2 − 6 =
hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 + x22 =
16
c. Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A=

x 20 y 20 z 20
+
+
y11 z11 x11

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

19

Website:tailieumontoan.com
Bài 5: ( 3.5 điểm )
Cho nửa đường tròn ( O ; R ), đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By và nửa
đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Điểm M chuyển động trên nửa
đường tròn ( 𝑀 ≢ 𝐴; 𝑀 ≢ 𝐵 ). Qua M vẽ tiếp tuyến d với (O) cắt Ax, By theo thứ tự tại

C, D. Chứng minh rằng : AC.BD = R2

a. Anh ( chị ) hãy giải bài toán trên.
b. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán đảo.
c. Hạ MH vuông góc với AB ( H ∈ AB ). Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn
(O) để tam giác AMH có diện tích lớn nhất.

_________________Hết_______________

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC