Những hằng đẳng thức đáng nhớ (Tiếp 2)

Lý thuyết

Luyện tập - Bài 35 (Sgk tập 1 - trang 17)

Tính nhanh :

a) \(34^2+66^2+68.66\)

b) \(74^2+24^2-48.74\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) 34² + 66² + 68 . 66 = 34² + 2 . 34 . 66 + 66² = (34 + 66)² = 100² = 10000.

b) 74² + 24² – 48 . 74 = 74² - 2 . 74 . 24 + 24² = (74 - 24)²

=50² =2500

Luyện tập - Bài 36 (Sgk tập 1 - trang 17)

Tính giá trị của biểu thức :

a) \(x^2+4x+4\) tại \(x=98\)

b) \(x^3+3x^2+3x+1\) tại \(x=99\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x² + 4x + 4 = x² + 2 . x . 2 + 2² = (x+ 2)²

Với x = 98: (98+ 2)² =100² = 10000

b) x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3 . 1 . x² + 3 . x .1²+ 1³ = (x + 1)³

Với x = 99: (99+ 1)³ = 100³ = 1000000

Bài 32 (Sgk tập 1 - trang 16)

Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống :

a) \(\left(3x+y\right)\left(.....-......+......\right)=27x^3+y^3\)

b) \(\left(2x-.....\right)\left(.....+10x+......\right)=8x^3-125\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 27\(x^3\)+ y\(^3\) = (3x)\(^3\) + y\(^3\)= (3x + y)[(3x)\(^2\) – 3x . y + y\(^2\)] = (3x + y)(9x\(^2\) – 3xy + y\(^2\))

Nên: (3x + y) (9x\(^2\) – 3xy + y\(^2\)) = 27x\(^3\) + y\(^3\)

b) Ta có: 8x\(^3\) – 125 = (2x)\(^3\) – 53= (2x – 5)[(2x)\(^2\) + 2x . 5 + 5\(^2\)]

= (2x – 5)(4x\(^2\) + 10x + 25)

Nên:(2x – 5)(4x\(^2\) + 10x + 25)= 8x\(^3\) – 125

Luyện tập - Bài 37 (Sgk tập 1 - trang 17)

Nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu) :

Hướng dẫn giải

Luyện tập - Bài 38 (Sgk tập 1 - trang 17)

Chứng minh các đẳng thức sau :

a) \(\left(a-b\right)^3=-\left(b-a\right)^3\)

b) \(\left(-a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2\)

Hướng dẫn giải

a) (a – b)³ = -(b – a)³

Biến đổi vế phải thành vế trái:

-(b – a)³= -(b³ – 3b²a + 3ba² – a³) = - b³ + 3b²a - 3ba² + a³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(a – b)³ = [(-1)(b – a)]³ = (-1)³(b – a)³ = -1³ . (b – a)³ = - (b – a)³

b) (- a – b)² = (a + b)²

Biến đổi vế trái thành vế phải:

(- a – b)² = [(-a) + (-b)]²

= (-a)² +2 . (-a) . (-b) + (-b)²

= a² + 2ab + b² = (a + b)²

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(-a – b)² = [(-1) . (a + b)]² = (-1)² . (a + b)² = 1 . (a + b)² = (a + b)²

Luyện tập - Bài 33 (Sgk tập 1 - trang 16)

Tính :

a) \(\left(2+xy\right)^2\)

b) \(\left(5-3x\right)^2\)

c) \(\left(5-x^2\right)\left(5+x^2\right)\)

d) \(\left(5x-1\right)^3\)

e) \(\left(2x-y\right)\left(4x^2+2xy+y^2\right)\)

f) \(\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) (2 + xy)² = 2² + 2 . 2 . xy + (xy)² = 4 + 4xy + x²y²

b) (5 – 3x)²= 5² – 2 . 5 . 3x + (3x)² = 25 – 30x + 9x²

c) (5 – x²)(5 + x²) = 5² – (x²)² = 25 – x⁴

d) (5x – 1)³ = (5x)³ – 3 . (5x)². 1 + 3 . 5x . 1² – 1³ = 125x³ – 75x² + 15x – 1

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²) = (2x – y)[(2x)² + 2x . y + y²] = (2x)³ – y³ = 8x³ – y³

f) (x + 3)(x² – 3x + 9) = (x + 3)(x² – 3x + 3²) = x³ + 3³ = x³ + 27.

Luyện tập - Bài 34 (Sgk tập 1 - trang 17)

Rút gọn các biểu thức sau :

a) \(\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\)

b) \(\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3-2b^3\)

c) \(\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) (a + b)² – (a – b)² = (a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab - b² = 4ab

Hoặc (a + b)² – (a – b)² = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]

= (a + b + a – b)(a + b – a + b)

= 2a . 2b = 4ab

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b - 3ab² + b³ – 2b³

= 6a²b

Hoặc (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³ = [(a + b)³ – (a – b)³] – 2b³

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b)(a – b) + (a – b)²] – 2b³

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b² + a² – 2ab + b²) – 2b³

= 2b . (3a² + b²) – 2b³ = 6a²b + 2b³ – 2b³ = 6a²b

c) (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)²

= x² + y² + z²+ 2xy + 2yz + 2xz – 2(x² + xy + yx + y² + zx + zy) + x² + 2xy + y²

= 2x² + 2y² + z² + 4xy + 2yz + 2xz – 2x² – 4xy – 2y² – 2xz – 2yz = z²

Bài 31 (Sgk tập 1 - trang 16)

Chứng minh rằng :

a) \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

b) \(a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

Áp dụng : 

Tính \(a^3+b^3\), biết \(a.b=6\) và \(a+b=-5\)

Hướng dẫn giải

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Thực hiện vế phải:

(a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³

Vậy a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Thực hiện vế phải:

(a – b)³ + 3ab(a – b) = a³ - 3a²b+ 3ab² - b³ + 3a²b – 3ab²

= a³ – b³

Vậy a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng:

Với ab = 6, a + b = -5, ta được:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) = (-5)³ - 3 . 6 . (-5)

= -5³ + 3 . 6 . 5 = -125 + 90 = -35.

Bài 30 (Sgk tập 1 - trang 16)

Rút gọn các biểu thức sau :

a) \(\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)-\left(54+x^3\right)\)

b) \(\left(2x+y\right)\left(4x^2-2xy+y^2\right)-\left(2x-y\right)\left(4x^2+2xy+y^2\right)\)

Hướng dẫn giải

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³) = (x + 3)(x² – 3x + 3² ) - (54 + x³)

= x³ + 3³ - (54 + x³)

= x³ + 27 - 54 - x³

= -27

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

= (2x + y)[(2x)² – 2 . x . y + y²] – (2x – y)(2x)² + 2 . x . y + y²]

= [(2x)³ + y³]- [(2x)³ - y³]

= (2x)³ + y³- (2x)³ + y³= 2y³