Hình thang cân

Lý thuyết

Bài 14 (Sgk tập 1 - trang 75)

Đố :

Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31) tứ giác nào là hình thang cân ? Vì sao ?

 

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Để xét xem tứ giác nào là hình thang cân ta dùng tính chất

"Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau"

Tứ giác ABCD là hình thang cân vì có AD = BC.

Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH.

Bài 13 (Sgk tập 1 - trang 74)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED ?

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BC, $\hat{D}=\hat{C}$

Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:

AD = BC (gt)

AC = BD (gt)

DC chung

Nên ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)

Suy ra $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$

Do đó tam giác ECD cân tại E, nên EC = ED

Ta lại có: AC = BD suy ra EA = EB

Chú ý: Ngoài cách chứng minh ∆ADC = ∆BCD (c.c.c) ta còn có thể chứng minh ∆ADC = ∆BCD (c.g.c) như sau:

AD = BC, $\hat{D}=\hat{C}$ , DC là cạnh chung.

Luyện tập - Bài 19 (Sgk tập 1 - trang 75)

Đố :

Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h.32).

Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Có thể tìm được hai điểm M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho A, D, K là bốn đỉnh của một hình thang cân. Đó là hình thang AKDM₁ (với AK là đáy) và hình thang ADKM₂ (với DK là đáy).

Bài 15 (Sgk tập 1 - trang 75)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.

a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang  cân đó, biết rằng \(\widehat{A}=50^0\)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ:

a)Xét \(\Delta ADE\) có:AD=AE(gt)

\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (1)

Ta lại có:\(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\) DE song song với BC

Xét tứ giác DEBC có:

DE song song với BC

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( 2 góc đáy của tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\) BDEC là hình thang cân

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{CED}\)

b) Theo câu a có:\(\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}=\dfrac{180^o-50^o}{2}=60^0\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( câu a) nên \(\widehat{ABC}=60^o\)

Vì DE song song với BC\(\Rightarrow\) góc DEC+ góc BCE=180^o

=>góc DEC+60^o =180^o

=>góc DEC=120^o mà \(\widehat{BDE}=\widehat{CED}\)

=>BDE=120^o

Luyện tập - Bài 16 (Sgk tập 1 - trang 75)

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE ( \(D\in AC,E\in AB\) )

Chứng minh rằng BEDC là hình thang có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Hướng dẫn giải

Bài 12 (Sgk tập 1 - trang 74)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF ?

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Xét hai tam giác vuông AED và BFC

Ta có: AD = BC (gt)

(gt)

Nên ∆AED = ∆BFC (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: DE = CF

Bài 11 (Sgk tập 1 - trang 74)

Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (H.30, độ dài của cạnh ô vuông là 1cm)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Theo hình vẽ, ta có: AB = 2cm, CD = 4cm

Trong tam giác vuông AED, áp dụng định lý Pitago ta được:

AD² = AE² + ED²

= 3² + 1² =10

Suy ra AD = $\sqrt{10}$cm

Vậy AB = 2cm, CD = 4cm, AD = BC = $\sqrt{10}$cm

Luyện tập - Bài 18 (Sgk tập 1 - trang 75)

Chứng minh định lí : "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau :

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng :

a) \(\Delta BDE\) là tam giác cân

b) \(\Delta ACD=\Delta BDC\)

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

Hướng dẫn giải

a) Hình thang ABEC (AB // CE) có hai cạnh bên AC, BE song song nên chúng bằng nhau:

AC = BE (1)

Theo giả thiết AC = BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = BD do đó tam giác BDE cân.

b) Ta có AC // BE suy ra = (3)

∆BDE cân tại B (câu a) nên = (4)

Từ (3) và (4) suy ra =

Xét ∆ACD và ∆BCD có AC = BD (gt)

= (cmt)

CD cạnh chung

Nên ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)

c) ∆ACD = ∆BDC (câu b)

Suy ra

Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Luyện tập - Bài 17 (Sgk tập 1 - trang 75)

Hình thang ABCD (AB//CD) có \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân ?

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

∆ECD có (do ) nên là tam giác cân.

Suy ra EC = ED (1)

Tương tự EA = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.