Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Lý thuyết

Bài 2 (SGK trang 136)

Tính \(\alpha+\beta;\alpha-\beta\) với :

a) \(\alpha=3;\beta=2i\)

b) \(\alpha=1-2i;\beta=6i\)

c) \(\alpha=5i;\beta=-7i\)

d) \(\alpha=15;\beta=4-2i\)

Hướng dẫn giải

a) α + β = 3 + 2i, α - β = 3 - 2i

b) α + β = 1 + 4i α - β = 1 - 8i

c) α + β = -2i, α - β = 12i

d) α + β = 19 - 2i α - β = 11 + 2i

Bài 3 (SGK trang 136)

Thực hiện các phép tính sau :

a) \(\left(3-2i\right)\left(2-3i\right)\)

b) \(\left(-1+i\right)\left(3+7i\right)\)

c) \(5\left(4+3i\right)\)

d) \(\left(-2-5i\right)4i\)

Hướng dẫn giải

a) (3 - 2i)(2 - 3i) = (6 - 6) + (-9 -4)i = -13i;

b) (-1 + i)(3 + 7i) = (-3 - 7) + (-7 + 3)i = -10 -4i;

c) 5(4 + 3i) = 20 + 15i;

d) (-2 - 5i).4i = -8i - 20i² = -8i -20(-1) = 20 - 8i

Bài 4 (SGK trang 136)

Tính : \(i^3,i^4,i^5\)

Nêu cách tính \(i^n\) với n là một số tự nhiên tùy ý ?

Hướng dẫn giải

i³ = i² .i = -i; i⁴ = i² .i² = (-1)(-1) = 1; i⁵ = i⁴ .i = i

Nếu n = 4q + r, 0 ≤ r < 4 thì

1) iⁿ = i^r = i nếu r = 1

2) iⁿ = i^r = -1 nếu r = 2

3) iⁿ = i^r = -i nếu r = 3

4) iⁿ = i^r = 1 nếu r = 4

Bài 5 (SGK trang 136)

Tính :

a) \(\left(2+3i\right)^2\)

b) \(\left(2+3i\right)^3\)

Hướng dẫn giải

a) (2 + 3i)² = 4 + 12i + (3i)² = -5 + 12i;

b) (2 + 3i)³ = 8 + 3.4.3i + 3.2(3i)² + (3i)³ = 8 + 36i - 54 - 27i = -46 + 9i.

Bài 1 (SGK trang 138)

Thực hiện các phép chia sau :

a) \(\dfrac{2+i}{3-2i}\)

b) \(\dfrac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\)

c) \(\dfrac{5i}{2-3i}\)

d) \(\dfrac{5-2i}{i}\)

Hướng dẫn giải

a) .

b)

c)

d) = (5 - 2i)(-i) = -2 - 5i

Bài 2 (SGK trang 138)

Tìm nghịch đảo \(\dfrac{1}{z}\) của số phức \(z\) , biết :

a) \(z=1+2i\)

b) \(z=\sqrt{2}-3i\)

c) \(z=i\)

d) \(z=5+i\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

a)

b)

c)

Bài 3 (SGK trang 138)

Thực hiện các phép tính sau :

a) \(2i\left(3+i\right)\left(2+4i\right)\)

b) \(\dfrac{\left(1+i\right)^2\left(2i\right)^3}{-2+i}\)

c) \(3+2i+\left(6+i\right)\left(5+i\right)\)

d) \(4-3i+\dfrac{5+4i}{3+6i}\)

Hướng dẫn giải

a) 2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i

b)

c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i

d) 4 - 3i + = 4 - 3i + = 4 - 3i +

= (4 + ) - (3 + )i =

Bài 4 (SGK trang 138)

Giải các phương trình sau :

a) \(\left(3-2i\right)z+\left(4+5i\right)=7+3i\)

b) \(\left(1+3i\right)z-\left(2+5i\right)=\left(2+i\right)z\)

c) \(\dfrac{z}{4-3i}+\left(2-3i\right)=5-2i\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i <=> (3 - 2i)z = 7 + 3i - 4 - 5i

<=> z = <=> z = 1. Vậy z = 1.

b) Ta có (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z <=> (1 + 3i)z -(2 + i)z = (2 + 5i)

<=> (1 + 3i - 2 - i)z = 2 + 5i <=> (-1 + 2i)z = 2 + 5i

z =

Vậy z =

c) Ta có + (2 - 3i) = 5 - 2i <=> = 5 - 2i - 2 + 3i

<=> z = (3 + i)(4 - 3i) <=> z = 12 + 3 + (-9 + 4)i <=> z = 15 -5i