Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức
1. Phép cộng hai số phức
cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i
z + z' = (a + a') + (b + b')i
Tính chất:
- Kết hơp: (z + z') + z'' = z + (z' + z'')
- Giao hoán: z + z' = z' + z
- Số đối của z = a + bi là số -z = -a -bi
2. Phép trừ hai số phức
cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i
z - z' = (a - a') + (b - b')i
3. Phép nhân hai số phức
Cho z = a + bi và z' = a' + b'i, lấy tích của hai số và chú ý i2 = -1 ta có:
z . z' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + ab'i + a'bi + bb'i2 = aa' + ab'i + a'bi + bb'(-1) = aa' - bb' + (ab' + a'b)i
Tính chất:
- với k là số thực thì k.z = ka + kbi
- Giao hoán: z.z' = z'.z
- Kết hợp: (z.z').z'' = z.(z'.z'')
- Phân phối của phép nhân đối với phép cộng
z.(z' + z'') = z.z' + z.z''
4. Phép chia cho số phức khác 0
- Mô đun (kí hiệu là |z|) của số phức z = a + bi là một số thực \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)
- Số phức liên hợp (kí hiệu là \(\overline{z}\)) của số phức z = a + bi là số phức \(\overline{z}=a-bi\)
- Nghịch đảo (kí hiệu z-1) của số phức z là số phức sao cho tích với z thì bằng 1. Ta dễ nhận thấy:
\(z^{-1}=\frac{1}{\left|z\right|^2}\overline{z}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\)
Vì \(\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)=\frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}=1\)
- Chia số phức z' = a' + b'i cho số phức z = a + bi là lấy z' nhân với z-1
\(\frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\left(a'+b'i\right)\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)=\frac{a'a+bb'}{a^2+b^2}+\frac{ab'-a'b}{a^2+b^2}i\)
5. Mô đun của tích, thương hai số phức
- Mô đun của một tích bằng tích hai mô đun: \(\left|z_1.z_2\right|=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)
- Mô đun của một thương bằng thương hai mô đun: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)
Chứng minh:
Giả sử \(z_1=a+bi;z_2=x+yi\)
- Tích \(z_1.z_2=\left(ax-by\right)+\left(bx+ay\right)i\)
\(\left|z_1.z_2\right|=\sqrt{\left(ax-by\right)^2+\left(bx+ay\right)^2}\)
\(=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)
- Thương \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{\left(a+bi\right)\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{\left(bx-ay\right)}{x^2+y^2}i\)
=> \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\frac{\left(ax+by\right)^2+\left(bx-ay\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Số phức: 4 dạng toán trong đề thi đại học
Các bài toán số phức trong các đề thi đại học, có hướng dẫn giải