Bài 3: Phép chia số phức
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Câu hỏi 1 trang 136 SGK Giải tích 12
Cho \(z = 2 + 3i\). Hãy tính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z \). Nêu nhận xét
Hướng dẫn giải
Ta có: \(z = 2 + 3i \Rightarrow \overline z = 2 - 3i\).
Khi đó \(z + \overline z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {2 - 3i} \right)\) \( = 2 + 3i + 2 - 3i = 4\)
\(z.\overline z = \left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\) \( = {2^2} - {\left( {3i} \right)^2} = 4 + 9 = 13\).
Nhận xét:
Tổng của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.
Tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.
Câu hỏi 2 trang 138 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép chia sau:
\({{1 + i} \over {2 - 3i}};\,\,\,{{6 + 3i} \over {5i}}\)
Hướng dẫn giải
\(\eqalign{
& {{1 + i} \over {2 - 3i}} = {{(1 + i)(2 + 3i)} \over {(2 - 3i)(2 + 3i)}} = {{2 + 5i - 3} \over {13}} = {{ - 1} \over {13}} + {{5i} \over {13}} \cr
& {{6 + 3i} \over {5i}} = {{(6 + 3i)( - 5i)} \over {5i( - 5i)}} = {{6i - 3} \over 5} \cr} \)
Bài 1 trang 138 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép chia sau:
a) \( \dfrac{2+i}{3-2i}\); b) \( \dfrac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\);
c) \( \dfrac{5i}{2-3i}\); d) \( \dfrac{5-2i}{i}\).
Hướng dẫn giải
a) \(\dfrac{{2 + i}}{{3 - 2i}} = \dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}{{\left( {3 - 2i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}} \) \(= \dfrac{{6 + 7i + 2{i^2}}}{{9 + 4}} = \dfrac{4}{{13}} + \dfrac{7}{{13}}i.\)
b) \(\dfrac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)}}\)
\(= \dfrac{{ 2 + \left( {2\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)i - \sqrt 6 {i^2}}}{{4 + 3}} \) \(= \dfrac{{ 2 + \sqrt 6 }}{7} + \dfrac{{2\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{7}i.\)
c) \(\dfrac{{5i}}{{2 - 3i}} = \dfrac{{5i\left( {2 + 3i} \right)}}{{\left( {2 - 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}\) \( = \dfrac{{10i + 15{i^2}}}{{4 + 9}} = - \dfrac{{15}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i.\)
d) \(\dfrac{{5 - 2i}}{i} = \dfrac{{\left( {5 - 2i} \right)i}}{{{i^2}}} \) \(= - \left( {5i - 2{i^2}} \right) = -2 - 5i.\)
Bài 2 trang 138 SGK Giải tích 12
Tìm nghịch đảo \( \dfrac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết:
a) \(z = 1 + 2i\); b) \(z = \sqrt2 - 3i\);
c) \(z = i\); d) \(z = 5 + i\sqrt3\).
Hướng dẫn giải
a) \( \dfrac{1}{1+2i}=\dfrac{1-2i}{1+2^2} =\dfrac{1-2i}{5}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i.\)
b) \( \dfrac{1}{\sqrt{2}-3i}=\dfrac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{11}+\dfrac{3}{11}i\)
c) \( \dfrac{1}{i}=\dfrac{-i}{1}=-i\)
d) \( \dfrac{1}{5+i\sqrt{3}}=\dfrac{5-i\sqrt{3}}{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\dfrac{5}{28}-\dfrac{\sqrt{3}}{28}i\)
Bài 3 trang 138 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(2i(3 + i)(2 + 4i)\); b) \( \dfrac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\)
c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\);
d) \(4 - 3i + \dfrac{5+4i}{3+6i}\).
Hướng dẫn giải
\(a) \,2i(3 + i)(2 + 4i) =2i(6+14i+4i^2) \\= 2i(2 + 14i)=4i+28i^2 = -28 + 4i.\)
b) \( \dfrac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\) \( =\dfrac{2i(-8i)}{-2+i}=\dfrac{16(-2-i)}{5}=-\dfrac{32}{5}-\dfrac{16}{5}i.\)
\(c) \, 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)=3+2i+30+11i+i^2 \\= 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i.\)
\(d) \, 4 - 3i + \dfrac{5+4i}{3+6i} = 4 - 3i + \dfrac{(5+4i)(3-6i)}{3^2+6^2} \\ = 4-3i + \dfrac{15-18i-24i^2}{45}= 4 - 3i + \dfrac{39}{45}-\dfrac{18}{45}i \\= (4 + \dfrac{39}{45}) - (3 + \dfrac{18}{45})i= \dfrac{73}{15}-\dfrac{17}{5}i.\)
Bài 4 trang 138 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a) \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\);
b) \((1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\);
c) \( \dfrac{z}{4-3i} + (2 - 3i) = 5 - 2i\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 7 + 3i - 4 - 5i\)
\(\Leftrightarrow (3-2i)z=3-2i \Leftrightarrow z = \dfrac{3-2i}{3-2i} \Leftrightarrow z = 1\).
Vậy \(z = 1\).
b) Ta có \((1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z \\ \Leftrightarrow (1 + 3i)z -(2 + i)z = (2 + 5i)\)
\(\Leftrightarrow (1 + 3i - 2 - i)z = 2 + 5i \\ \Leftrightarrow (-1 + 2i)z = 2 + 5i\)
\(\Leftrightarrow z = \dfrac{2 + 5i}{-1+2i} \\ \Leftrightarrow z=\dfrac{(2+5i)(-1-2i)}{1^2+2^2}\\\Leftrightarrow z=\dfrac{-2-4i-5i-10i^{2}}{5} \\ \Leftrightarrow z=\dfrac{8-9i}{5} =\dfrac{8}{5}-\dfrac{9}{5}i\)
Vậy \(z =\dfrac{8}{5}-\dfrac{9}{5}i.\)
\(\begin{array}{l}
c)\;\;\dfrac{z}{{4 - 3i}} + 2 - 3i = 5 - 2i\\
\Leftrightarrow \;\dfrac{z}{{4 - 3i}} = 5 - 2i - 2 + 3i\\
\Leftrightarrow \;\dfrac{z}{{4 - 3i}} = 3 + i\\
\Leftrightarrow z = \left( {3 + i} \right)\left( {4 - 3i} \right)\\
\Leftrightarrow z = 12 - 5i - 3{i^2}\\
\Leftrightarrow z = 15 - 5i.
\end{array}\)
Vậy \(z=15-5i.\)
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
