Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Lý thuyết

• Bài 1 (SGK trang 57)
• Bài 2 (SGK trang 58)
• Bài 3 (SGK trang 58)
• Bài 4 (SGK trang 58)
• Bài 5 (SGK trang 58)
• Bài 6 (SGK trang 58)

Bài 1 (SGK trang 57)

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - tơn :

a) \(\left(a+2b\right)^5\)

b) \(\left(a-\sqrt{2}\right)^6\)

c) \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{13}\)

Hướng dẫn giải

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵= a⁵ + 5a⁴ (2b) + 10a³(2b)² + 10a² (2b)³ + 5a (2b)⁴ + (2b)⁵

= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)⁶ = [a + (-√2)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-√2) + 15a⁴ (-√2)² + 20a³ (-√2)³ + 15a² (-√2)⁴ + 6a(-√2)⁵ + (-√2)⁶.

= a⁶ - 6√2a⁵ + 30a⁴ - 40√2a³ + 60a² - 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

(x - )¹³= [x + (- )]¹³ = C^k₁₃ . x^{13 – k} . (-)^k = C^k₁₃ . (-1)^k . x^{13 – 2k}

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 2 (SGK trang 58)

Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức : \(\left(x+\dfrac{2}{x^2}\right)^6\) ?

Hướng dẫn giải

(x+ )⁶ = C^k₆ . x^{6 – k} . ()^k = C^k₆ . 2^k . x^{6 – 3k}

Trong tổng này, số hạng C^k₆ . 2^k . x^{6 – 3k} có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là:

2 . C¹₆ = 2 . 6 = 12.

Bài 3 (SGK trang 58)

Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \(\left(1-3x\right)^n\) là 90. Tìm n ?

Hướng dẫn giải

Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: (1 - 3x)n = [1 - (3x)]n = Ckn (1)n – k (-3)k . xk. Suy ra hệ số của x2trong khai triển này là 32C2n .Theo giả thiết, ta có: 32C2n = 90 => C2n = 10. Từ đó ta có: = 10 ⇔ n(n - 1) = 20. ⇔ n2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5. ĐS: n = 5.

Bài 4 (SGK trang 58)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \(\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^8\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có: (x³ + )⁸= C^k₈ x^{3(8 – k)} ()^k = C^k₈ x^{24 – 4k}

Trong tổng này, số hạng C^k₈ x^{24 – 4k} không chứa x khi và chỉ khi

⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.

Bài 5 (SGK trang 58)

Từ khai triển biểu thức \(\left(3x-4\right)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được ?

Hướng dẫn giải

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)¹⁷ bằng:

f(1) = (3 – 4)¹⁷= (– 1)¹⁷ = -1

Bài 6 (SGK trang 58)

Chứng minh rằng :

a) \(11^{10}-1\) chia hết cho 100

b) \(101^{100}-1\) chia hết cho 10 000

c) \(\sqrt{10}\left[\left(1+\sqrt{10}\right)^{100}-\left(1-\sqrt{10}\right)^{100}\right]\) là một số nguyên 

Hướng dẫn giải

a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210102 + … +C910 109 + 1010) – 1

= 102 + C210102 +…+ C910 109 + 1010.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1

= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.

= 1002 + C21001002 + …+ 10099 + 100100.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100 – 1 chia hết cho 10 000.

c) (1 + √10)100 = 1 + C1100 √10 + C2100 (√10)2 +…+ (√10)99 + (√10)100

(1 - √10)100 = 1 - C1100 √10 + C2100 (√10)2 -…- (√10)99 + (√10)100

√10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] = 2√10[C1100 √10 + C3100 (√10)3 +…+ . (√10)99]

= 2(C1100 10 + C3100 102 +…+ 1050)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] là một số nguyên.