Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 36)

Giải phương trình :

                   \(\sin^2x-\sin x=0\)

Hướng dẫn giải

sin²x - sinx = 0 ⇔ sinx(sinx - 1) = 0

Th1. sinx=0 \(\Leftrightarrow\) x=kπ \(\left(k\in Z\right)\)

Th2.  sinx=1\(\Leftrightarrow\)  x= \(\dfrac{\text{π}}{2}\) + \(\text{k 2 π}\)\(\left(k\in Z\right)\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: 
- \(x=k\pi\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)  với \(\left(k\in Z\right)\)

 

 

Bài 2 (SGK trang 36)

Giải các phương trình sau :

a) \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\)

b) \(2\sin2x+\sqrt{2}\sin4x=0\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1 ; 1] ta được phương trình 2t² - 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; }.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = ⇔ x = + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔

⇔

Bài 3 (SGK trang 37)

Giải các phương trình sau :

a) \(\sin^2\dfrac{x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}+2=0\)

b) \(8\cos^2x+2\sin x-7=0\)

c) \(2\tan^2c+3\tan x+1=0\)

d) \(\tan x-2\cos x+1=0\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = cos, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành

(1 - t²) - 2t + 2 = 0 ⇔ t² + 2t -3 = 0 ⇔

Phương trình đã cho tương đương với

cos = 1 ⇔ = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành

8(1 - t²) + 2t - 7 = 0 ⇔ 8t² - 2t - 1 = 0 ⇔ t ∈ {}.

Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của hai phương trình sau :

và

Đáp số : x = + k2π; x = + k2π;

x = arcsin() + k2π; x = π - arcsin() + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành 2t² + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {-1 ; }.

Vậy

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

t - + 1 = 0 ⇔ t² + t - 2 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; -2}.

Vậy

Bài 4 (SGK trang 37)

Giải các phương trình sau :

a) \(2\sin^2x+\sin x\cos x-3\cos^2x=0\)

b) \(3\sin^2-4\sin x\cos x+5\cos^2x=2\)

c) \(\sin^2x+\sin2x-2\cos^2+5\cos^2x=2\)

d) \(2\cos^2x-3\sqrt{3}\sin2x-4\sin^2x=-4\)

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho nên chiaw phương trình cho cos²x ta được phương trình tương đương 2tan²x + tanx - 3 = 0.

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t² + t - 3 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; }.

Vậy

b) Thay 2 = 2(sin²x + cos²x), phương trình đã cho trở thành

3sin²x - 4sinxcosx + 5cos²x = 2sin²x + 2cos²x

⇔ sin²x - 4sinxcosx + 3cos²x = 0

⇔ tan²x - 4tanx + 3 = 0

⇔

⇔ x = + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) Thay sin2x = 2sinxcosx ; = (sin²x + cos²x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương

sin²x + 2sinxcosx - cos²x = 0 ⇔ tan²x + 4tanx - 5 = 0 ⇔

⇔ x = + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos²x - 3√3sin2x - 4sin²x = -4

⇔ 2cos²x - 3√3sin2x + 4 - 4sin²x = 0

⇔ 6cos²x - 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx - √3sinx) = 0

⇔

Bài 5 (SGK trang 37)

Giải các phương trình sau :

a) \(\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\)

b) \(3\sin3x-4\cos3x=5\)

c) \(2\sin x+2\cos x-\sqrt{2}=0\)

d) \(5\cos2x+12\sin2x-13=0\)

Hướng dẫn giải

b) 3sin3x - 4cos3x = 5 ⇔ sin3x - cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x - sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x - α) = 1 ⇔ 3x - α = + k2π

⇔ x = , k ∈ Z (trong đó α = arccos).

Bài 6 (SGK trang 37)

Giải các phương trình sau :

a) \(\tan\left(2x+1\right)\tan\left(3x-1\right)=1\)

b) \(\tan x+\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)

Hướng dẫn giải

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1 ⇔ = 1.

Với điều kiện cos(2x + 1)cos(3x - 1) ≠ 0 phương trình tương đương với

cos(2x + 1)cos(3x - 1) - sin(2x + 1)sin(3x - 1) = 0

⇔ cos(2x + 1 + 3x - 1) = 0 ⇔ 5x = + k π ⇔ x = + , k ∈ Z.

Cần chọn các k nguyên để x = + không thỏa mãn điều kiện của phương trình (để loại bỏ). Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp sau:

(i) x = + làm cho cos(2x + 1) = 0, tức là

cos[2( + ) + 1] = 0 ⇔ + 1 = + lπ, (l ∈ Z)

⇔ π( - ) = 1 ⇔ π = , suy ra π ∈ Q, vô lí.

Vì vậy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(2x + 1) = 0.

(ii) x = + làm cho cos(3x - 1) = 0. Tương tự (i),ta cũng thấy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(3x - 1) = 0.

Vậy ∀ k ∈ Z, x = + đều là nghiệm của phương trình đã cho.

b)Đặt t = tan x, phương trình trở thành

t + = 1 ⇔ -t^{2 +} 3t = 0 (điều kiện t ≠ 1) ⇔ t = 0 hoặc t = 3 (thỏa mãn)

Vậy tan x = 0 ⇔ x = kπ

tan x = 3 ⇔ x = arctan 3 + kπ (k ∈ Z)

Bài 3.1 (SBT trang 35)

Giải các phương trình sau :

a) \(\cos2x-\sin x-1=0\)

b) \(\cos x\cos2x=1+\sin x\sin2x\)

c) \(4\sin x\cos x\cos2x=-1\)

d) \(\tan x=3\cot x\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.2 (SBT trang 35)

Giải các phương trình sau :

a) \(\sin x+2\sin3x=-\sin5x\)

b) \(\cos5x\cos x=\cos4x\)

c) \(\sin x\sin2x\sin3x=\dfrac{1}{4}\sin4x\)

d) \(\sin^4x+\cos^4x=-\dfrac{1}{2}\cos^22x\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.3 (SBT trang 36)

Giải các phương trình sau :

a) \(3\cos^2x-2\sin x+2=0\)

b) \(5\sin^2x+3\cos x+3=0\)

c) \(\sin^6x+\cos^6x=4\cos^22x\)

d) \(-\dfrac{1}{4}+\sin^2x=\cos^4x\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.4 (SBT trang 36)

Giải các phương trình sau :

a) \(2\tan x-3\cot x-2=0\)

b) \(\cos^2=3\sin2x+3\)

c) \(\cot x-\cot2x=\tan x+1\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.5 (SBT trang 36)

Giải các phương trình sau :

a) \(\cos^2x+2\sin x\cos x+5\sin^2x=2\)

b) \(3\cos^2x-2\sin2x+\sin^2x=1\)

c) \(4\cos^2x-3\sin x\cos x+3\sin^2x=1\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.6 (SBT trang 36)

Giải các phương trình sau :

a) \(1+\sin x-\cos x-\sin2x+2\cos2x=0\)

b) \(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=\sin^2x-\dfrac{1}{\sin^2x}\)

c) \(\cos x\tan3x=\sin5x\)

d) \(2\tan^2x+3\tan x+2\cot^2x+3\cot x+2=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.7 (SBT trang 36)

Giải phương trình sau :

                  \(\cot x-\tan x+4\sin2x=\dfrac{2}{\sin2x}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3.8 (SBT trang 36)

Giải phương trình sau :

                  \(\cot x-\tan x+4\sin2x=\dfrac{2}{\sin2x}\)

Hướng dẫn giải

Đối với những phương trình lượng giác chứa \(\tan x,\cot x,\sin2x\) hoặc \(\cos2x\) ta có thể đưa về phương trình chứa \(\cos x,\sin x,\sin2x\) hoặc \(\cos2x\). Ngoài ra ta có thể đặt ẩn phụ \(t=\tan x\) để đưa về phương trình theo t :