Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 28)

Giải các phương trình sau :

a) \(\sin\left(x+2\right)=\dfrac{1}{3}\)

b) \(\sin3x=1\)

c) \(\sin\left(\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)

d) \(\sin\left(2x+20^0\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 1. a) sin (x + 2) = ⇔

⇔

b) sin 3x = 1 ⇔ 3x = + k2π ⇔ x = , (k ∈ Z).

c) sin () = 0 ⇔ = kπ ⇔ x = , (k ∈ Z).

d) Vì = sin(-60⁰) nên phương trình đã cho tương đương với

sin (2x +20⁰) = sin(-60⁰)

⇔

⇔

Bài 2 (SGK trang 28)

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(y=\sin3x;y=\sin x\) bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Bài 2. x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi

 

Bài 3 (SGK trang 28)

Giải các phương trình sau :

a) \(\cos\left(x-1\right)=\dfrac{2}{3}\)

b) \(\cos3x=\cos12^0\)

c) \(\cos\left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}\)

d) \(\cos^22x=\dfrac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải

Bài 3. a) cos (x - 1) = ⇔ x - 1 = ±arccos + k2π

⇔ x = 1 ±arccos + k2π , (k ∈ Z).

b) cos 3x = cos 12⁰ ⇔ 3x = ±12⁰ + k360⁰ ⇔ x = ±4⁰ + k120⁰ , (k ∈ Z).

c) Vì = cos nên ⇔ cos() = cos ⇔ = ± + k2π ⇔

d) Sử dụng công thức hạ bậc (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

⇔ ⇔

⇔ ⇔

Bài 4 (SGK trang 29)

Giải phương trình :

                  \(\dfrac{2\cos2x}{1-\sin2x}=0\)

Hướng dẫn giải

Đáp án :

Bài 4. Ta có

= 0 ⇔

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, (k ∈ Z).

Bài 5 (SGK trang 29)

Giải các phương trình sau :

a) \(\tan\left(x-15^0\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

b) \(\cot\left(3x-1\right)=-\sqrt{3}\)

c) \(\cos2x\tan x=0\)

d) \(\sin3x\cot x=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (SGK trang 29)

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(y=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\) và \(y=\tan2x\) bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Bài 6. Các giá trị cần tìm của x là các nghiệm của phương trình

tan 2x = tan ( - x) ,

Đáp số : ( k ∈ Z, k - 2 không chia hết cho 3).

Bài 7 (SGK trang 29)

Giải các phương trình sau :

a) \(\sin3x-\cos5x=0\)

b) \(\tan3x.\tan x=1\)

Hướng dẫn giải

Bài 7. a) sin 3x - cos 5x = 0 ⇔ cos 5x = sin 3x ⇔ cos 5x = cos ( - 3x) ⇔

b) tan 3x . tan x = 1 ⇔ . Điều kiện : cos 3x . cos x # 0.

Với điều kiện này phương trình tương đương với

cos 3x . cos x = sin 3x . sinx ⇔ cos 3x . cos x - sin 3x . sinx = 0 ⇔ cos 4x = 0.

Do đó

tan 3x . tan x = 1 ⇔

⇔ cos 2x = ⇔ cos 4x = 0

⇔

Bài 2.1 (SBT trang 22)

Giải các phương trình :

a) \(\sin3x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

b) \(\sin\left(2x-15^0\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(\sin\left(\dfrac{x}{2}+10^0\right)=-\dfrac{1}{2}\)

d) \(\sin4x=\dfrac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.2 (SBT trang 22)

Giải các phương trình :

a) \(\cos\left(x+3\right)=\dfrac{1}{3}\)

b) \(\cos\left(3x-45^0\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c) \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}\)

d) \(\left(2+\cos x\right)\left(3\cos2x-1\right)=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.3 (SBT trang 23)

Giải các phương trình :

a) \(\tan\left(2x+45^0\right)=-1\)

b) \(\cot\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\)

c) \(\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\dfrac{\pi}{8}\)

d) \(\cot\left(\dfrac{x}{3}+20^0\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Hướng dẫn giải

a) \(x=-45^0+k90^0,k\in\mathbb{Z}\)

b) \(x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

c) \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)

d) \(x=300^0+k540^0,k\in\mathbb{Z}\)

Bài 2.4 (SBT trang 23)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{\sin3x}{\cos3x-1}=0\)

b) \(\cos2x\cot\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

c) \(\tan\left(2x+60^0\right)\cos\left(x+75^0\right)=0\)

d) \(\left(\cot x+1\right)\sin3x=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.5 (SBT trang 23)

Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau :

a) \(y=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) và \(y=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

b) \(y=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) và \(y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

c) \(y=\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right)\) và \(y=\tan\left(\dfrac{\pi}{5}-x\right)\)

d) \(y=\cot3x\)              và \(y=\cot\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.6 (SBT trang 23)

Giải các phương trình :

a) \(\cos3x-\sin2x=0\)

b) \(\tan x\tan2x=-1\)

c) \(\sin3x+\sin5x=0\)

d) \(\cot2x\cot3x=1\)

Hướng dẫn giải