Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 1: Hàm số lượng giác

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 17)

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[-\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]\) để hàm số \(y=\tan x\) :

a) Nhận giá trị bằng 0

b) Nhận giá trị bằng 1

c) Nhận giá trị dương

d) Nhận giá trị âm

Hướng dẫn giải

Bài 1. a) trục hoành cắt đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ ) tại ba điểm có hoành độ - π ; 0 ; π. Do đó trên đoạn chỉ có ba giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0, đó là x = - π; x = 0 ; x = π.

b) Đường thẳng y = 1 cắt đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ ) tại ba điểm có hoành độ . Do đó trên đoạn chỉ có ba giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 1, đó là .

c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ ) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng . Vậy trên đoạn , các giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị dương là x ∈ .

d) Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ ) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng . Vậy trên đoạn , các giá trị của x để hàm số y = tanx nhận giá trị âm là x ∈ .


Bài 2 (SGK trang 17)

Tìm tập hợp xác định của các hàm số :

a) \(y=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\)

b) \(y=\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)

c) \(y=\tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)

d) \(y=\cot\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

 

Hướng dẫn giải

Bài 2. a) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi sinx = 0. Từ đồ thị của hàm số y = sinx suy ra các giá trị này của x là x = kπ. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là R {kπ, (k ∈ Z)}.

b) Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x nên hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi cosx = 1. Từ đồ thị của hàm số y = cosx suy ra các giá trị này của x là x = k2π. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là R {k2π, (k ∈ Z)}.

c) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi .

Hàm số đã cho có tập xác định là R {}.

d) Hàm số đã cho không xác định khi và chỉ khi

Hàm số đã cho có tập xác định là R {}.



Bài 3 (SGK trang 17)

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y=\sin x\), hãy vẽ đồ thị của hàm số \(y=\left|\sin x\right|\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 3. Ta có

|sinx|={sinx,sinx≥0−sinx,sinx≤0|sinx|={sinx,sinx≥0−sinx,sinx≤0

Mà sinx < 0 ⇔ x ∈ (π + k2π , 2π + k2π), k ∈ Z nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số y = IsinxI



Bài 4 (SGK trang 17)

Chứng minh rằng \(\sin2\left(x+k\pi\right)-\sin2x\) với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y=\sin2x\)

Hướng dẫn giải

Bài 4. Do sin (t + k2π) = sint, ∀k ∈ Z (tính tuần hoàn của hàm số f(t) = sint), từ đó sin(2π + k2π) = sin2x => sin2(tx+ kπ) = sin2x, ∀k ∈ Z.

Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số y = sin2x, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài π (đoạn Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài π .

Với mỗi x0 thì x = 2x0 ∈ [-π ; π], điểm M(x ; y = sinx) thuộc đoạn đồ thị (C) của hàm số y = sinx, (x ∈ [-π ; π]) và điểm M’(x0 ; y0 = sin2x0) thuộc đoạn đồ thị (C’) của hàm số y = sin2x, ( x ∈ ) (h.5). Chú ý rằng, x = 2x0 => sinx = sin2x0 do đó hai điểm M’ , M có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của M’ bằng một nửa hoành độ của M. Từ đó ta thấy có thể suy ra (C’) từ (C) bằng cách “co” (C) dọc theo trục hoành như sau : với mỗi M(x ; y) ∈ (C) , gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống trục Oy và M’ là trung điểm của đoạn HM thì M’ ∈ (C’) (khi m vạch trên (C) thì M’ vạch trên (C’)). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của (C’) (các điểm M’ ứng với các điểm M của (C) với hoành độ ∈ {}).



Bài 5 (SGK trang 18)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=\cos x\), tìm các giá trị của x để \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 5. Cosx = là phương trình xác định hoành độ giao điểm của đường thẳng y = và đồ thị y = cosx.

Từ đồ thị đã biết của hàm số y = cosx, ta suy ra x = , (k ∈ Z), ( chú ý tìm giao điểm của đường thẳng cới đồ thị trong đoạn [-π ; π] và thấy ngay rằng trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của x là x = , (k ∈ Z)).



Bài 6 (SGK trang 18)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=\sin x\), tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương ?

Hướng dẫn giải

Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy trong đoạn [-π ; π] các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y = sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng (0 ; π). Từ đố, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương là (0 + k2π ; π + k2π) hay (k2π ; π + k2π) trong đó k là một số nguyên tùy ý.

Bài 7 (SGK trang 18)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=\cos x\), tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm ?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, để làm số nhận giá trị âm thì:

x(3π2;π2);(π2;3π2)...x(π2+k2π;3π2+k2π),kZ

Bài 8 (SGK trang 18)

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số :

a) \(y=2\sqrt{\cos x}+1\)

b) \(y=3-2\sin x\)

Hướng dẫn giải

a) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số đã cho ta có

0 ≤ cosx ≤ 1 => y = 2√cosx + 1 ≤ 3.

Giá trị y = 3 đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z, do đó max y = 3.

b) ta có -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x => 2 ≥ -2sinx ≥ -2 => 1 ≤ y = 3 – 2sinx ≤ 5, ∀x .

Giá trị y = 5 đạt được khi sinx = -1 ⇔ x = −π2+k2π−π2+k2π . k ∈ Z.

Giá trị y = 1 đạt được khi sinx = 1 ⇔ x = π2+k2ππ2+k2π, k ∈ Z.

Vậy max y = 5 ; min y = 1.

 

Bài 1.1 (SBT trang 12)

Tìm tập xác định của các hàm số :

a) \(y=\cos\dfrac{2x}{x-1}\)

b) \(y=\tan\dfrac{x}{3}\)

c) \(y=\cot2x\)

d) \(y=\sin\dfrac{1}{x^2-1}\)

Hướng dẫn giải

a) \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)
b) \(y\left(x\right)\) xác định khi:
\(cos\dfrac{x}{3}\ne0\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{3\pi}{2}+k3\pi\)
\(D=R\backslash\left\{\dfrac{3\pi}{2}+k3\pi\right\};k\in Z\)
c) \(y\left(x\right)\) xác định khi:
\(sin2x\ne0\Leftrightarrow2x\ne k\pi\)\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{k\pi}{2}\).
\(D=R\backslash\left\{\dfrac{k\pi}{2}\right\};k\in Z\)
d) \(y\left(x\right)\) xác định khi:
\(x^2-1\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne-1\end{matrix}\right.\).
\(D=R\backslash\left\{1;-1\right\}\)

Bài 1.2 (SBT trang 12)

Tìm tập xác định của các hàm số :

a) \(y=\sqrt{\cos x+1}\)

b) \(y=\dfrac{3}{\sin^2x-\cos^2x}\)

c) \(y=\dfrac{2}{\cos x-\cos3x}\)

d) \(y=\tan x+\cot x\)

Hướng dẫn giải

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Bài 1.3 (SBT trang 12)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a) \(y=3-2\left|\sin x\right|\)

b) \(y=\cos x+\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)

c) \(y=\cos^2x+2\cos2x\)

d) \(y=\sqrt{5-2\cos^2x\sin^2x}\)

Hướng dẫn giải

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Bài 1.4 (SBT trang 13)

Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau :

a) \(\dfrac{1}{\tan x}=\cot x\)

b) \(\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\cos^2x\)

c) \(\dfrac{1}{\sin^2x}=1+\cot^2x\)

d) \(\tan x+\cot x=\dfrac{2}{\sin2x}\)

Hướng dẫn giải

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Bài 1.5 (SBT trang 13)

Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số :

a) \(y=\dfrac{\cos2x}{x}\)

b) \(y=x-\sin x\)

c) \(y=\sqrt{1-\cos x}\)

d) \(y=1+\cos x\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-2x\right)\)

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D=R\backslash\left\{0\right\}\) tự đối xứng.
\(y\left(-x\right)=\dfrac{cos\left(-2x\right)}{-x}=-\dfrac{cos2x}{x}=-y\left(x\right)\).
Vậy \(y\left(x\right)\) là hàm số lẻ.
b) TXĐ: \(D=R\) tự đối xứng.
\(y\left(-x\right)=\left(-x\right)-sin\left(-x\right)=-x+sinx=-y\left(x\right)\).
Vậy \(y\left(x\right)\) là hàm số lẻ.
c) TXĐ: \(D=R\) tự đối xứng.
\(y\left(-x\right)=\sqrt{1-cos\left(-x\right)}=\sqrt{1-cosx}=y\left(x\right)\).
Vậy \(y\left(x\right)\) là hàm số chẵn.
d) TXĐ: \(D=R\) tự đối xứng.
\(y\left(x\right)=1+cos\left(-x\right)sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)\)
\(=1+cosxsin\left(2\pi-\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)\right)\)
\(=1+cosx.sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)\)
\(=1+cosx.\left[-sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{2}-2x\right)\right]\)
\(=1-cosx.sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-2x\right)\)
Vậy \(y\left(x\right)\) không là hàm số lẻ cũng không là hàm số chẵn.

Bài 1.6 (SBT trang 13)

a) Chứng minh rằng \(\cos2\left(x+k\pi\right)=\cos2x,k\in Z\). Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y=\cos2x\)

b) Từ đồ thị hàm số \(y=\cos2x\), hãy vẽ đồ thị hàm số \(y=\left|\cos2x\right|\)

Hướng dẫn giải

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

b) Đồ thị hàm số \(y=\left|\cos2x\right|\)

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Bài 1.7 (SBT trang 13)

Hãy vẽ đồ thị của các hàm số :

a) \(y=1+\sin x\)

b) \(y=\cos x-1\)

c) \(y=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)

d) \(y=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

Hướng dẫn giải

Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

d) Đồ thị hàm số \(y=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) thu được từ đồ thị \(y=\cos x\) bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang trái một đoạn bằng \(\dfrac{\pi}{6}\)

Bài 1.8 (SBT trang 13)

Hãy vẽ đồ thị của các hàm số :

a) \(y=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

b) \(y=\cot\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

Hướng dẫn giải

Có thể bạn quan tâm