Cung và góc liên kết

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 4 (SGK trang 148)

Tính các giá trị lượng giác của góc$\alpha$, nếu :

a) $\cos\alpha=\dfrac{4}{13}$ và $0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$

b) $\sin\alpha=-0,7$ và $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$

c) $\tan\alpha=-\dfrac{15}{7}$ và $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$

d) $\cot\alpha=-3$ và $\dfrac{3\pi}{2}< \alpha< 2\pi$

Hướng dẫn giải

a) Do 0 < α < $\frac{\prod }{2}$ nên sinα > 0, tanα > 0, cotα > 0

sinα = $\sqrt{1-(\frac{4}{13})^{2}}=\frac{\sqrt{153}}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13}$

cotα = $(\frac{4}{13}):\frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}$ ; tanα = $\frac{3\sqrt{17}}{4}$

b) π < α < $\frac{3\prod }{2}$ nên sinα < 0, cosα < 0, tanα > 0, cotα > 0

cosα = -√(1 - sin² α) = -√(1 - 0,49) = -√0,51 ≈ -0,7141

tanα ≈ 0,9802; cotα ≈ 1,0202.

c) $\frac{\prod }{2}$ < α < π nên sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0

cosα = $-\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{15}{7})^{2}}}=-\frac{7}{274}$ ≈ -0,4229.

sinα = $\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{7}{15})^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{274}}=0,9062$

cotα = - $\frac{7}{15}$

d) Vì $\frac{3\prod }{2}$ < α < 2π nên sinα < 0, cosα > 0, tanα < 0, cotα < 0

Ta có: tanα = $\frac{1}{cot\alpha }=-\frac{1}{3}$

sinα = $-\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=0,3162$

cosα = $\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{1}{3}^{2})}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=0,9487$

Bài 2 (SGK trang 148)

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không ?

a) $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ và $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

b) $\sin\alpha=\dfrac{-4}{5}$ và $\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}$

c) $\sin\alpha=0,7$ và $\cos\alpha=0,3$

Hướng dẫn giải

a) Không. Bởi vì $\left ( \frac{\sqrt{2}}{3} \right )^{2}$ $+\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}$ < 1

b) Có thể đồng thời xảy ra, vì $(-\frac{4}{5})^{2}+(-\frac{3}{5})^{2}$ = 1

c) Không. Lí do như câu a

Bài 1 (SGK trang 148)

Có cung $\alpha$ nào mà $\sin\alpha$ nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?

a) $-0,7$

b) $\dfrac{4}{3}$

c) $-\sqrt{2}$

d) $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Hướng dẫn giải

a) -1 ≤ -0,7 ≤ 1. Có cung α mà sin α = -0,7

b) $\frac{4}{3}$ > 1. Không có cung α có sin nhận giá trị $\frac{4}{3}$

c) Không. Vì -√2 < -1

d) Không. Vì $\frac{\sqrt{5}}{2}$ > 1

Bài 8 (SBT trang 189)

Chứng minh rằng với mọi $\alpha$, ta luôn có :

a) $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\alpha$

b) $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha$

c) $\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cot\alpha$

d) $\cot\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\tan\alpha$

Hướng dẫn giải

a)$sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=cos\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)\right]=cos\left(-\alpha\right)=cos\alpha$.
b) $cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=sin\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right]=sin\left(-x\right)=-sinx$.
c) $tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)}=\dfrac{cos\alpha}{-sin\alpha}=-cot\alpha$.
d) $cot\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)}{sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)}=\dfrac{-sin\alpha}{cos\alpha}=-tan\alpha$.

Bài 3 (SGK trang 148)

Cho $0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

a) $\sin\left(\alpha-\pi\right)$

b) $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)$

c) $\tan\left(\alpha+\pi\right)$

d) $\cot\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)$

Hướng dẫn giải

Với 0 < α < $\frac{\prod }{2}$ :

a) sin(α - π) < 0; b) cos( $\frac{3\prod }{2}$ - α) < 0;

c) tan(α + π) > 0; d) cot(α + $\frac{\prod }{2}$ ) < 0

Bài 13 (SBT trang 190)

Cho $\tan\alpha+\cot\alpha=m$, hãy tính theo $m$ :

a) $\tan^2\alpha+\cot^2\alpha$

b) $\tan^3\alpha+\cot^3\alpha$

Hướng dẫn giải

a) $tan^2\alpha+cot^2\alpha=\left(tan\alpha+cot\alpha\right)^2-2tan\alpha cot\alpha$
$=m^2-2$.
b) $tan^3\alpha+cot^3\alpha=\left(tan\alpha+cot\alpha\right)$$\left(tan^2\alpha-tan\alpha cot\alpha+cot^2\alpha\right)$
$=m\left(tan^2\alpha+cot^2\alpha-tan\alpha cot\alpha\right)$
$=m\left(m^2-2-2\right)=m\left(m^2-3\right)$.

Bài 14 (SBT trang 190)

Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức :

a) $A=\tan18^0\tan288^0+\sin32^0\sin148^0-\sin302^0\sin122^0$

b) $B=\dfrac{1+\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{1-\sin^6\alpha-\cos^6\alpha}$

Hướng dẫn giải

$A=tan18^otan288+sin32^osin148^o-sin302^osin122^o$
$=tan18^o.tan\left(-72^o\right)+sin32^o.sin32^o+sin58^o.sin58^o$
$=-tan18^o.cot18^o+sin^232^o+sin^258^o$
$=-1+sin^232^o+cos^232^2=-1+1=0$.

Bài 7 (SBT trang 189)

Cho $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau :

a) $\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)$

b) $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$

c) $\tan\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)$

d) $\cot\left(\alpha+\pi\right)$

Hướng dẫn giải

Do $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ nên $sin\alpha,cos\alpha< 0;tan\alpha,cot\alpha< 0$.
$cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=sin\alpha< 0$.
$sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=cos\alpha< 0$.
$tan\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=tan\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha-2\pi\right)$$=tan\left(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)$$=-tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=cot\left(\alpha\right)>0$.
$cot\left(\alpha+\pi\right)=cot\left(\alpha\right)>0$.

Bài 15 (SBT trang 190)

Chứng minh rằng với mọi $\alpha$ làm cho biểu thức $\dfrac{\sin\alpha+\tan\alpha}{\cos\alpha+\cot\alpha}$ có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm ?

Hướng dẫn giải

Ta có:
$\dfrac{sin\alpha+tan\alpha}{cos\alpha+cot\alpha}=\dfrac{sin\alpha+\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}}{cos\alpha+\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}}$$=\dfrac{sin\alpha cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}:\dfrac{cos\alpha sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha}$
$=\dfrac{sin\alpha cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}.\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha sin\alpha+cos\alpha}$
$=\dfrac{sin^2\alpha\left(cos\alpha+1\right)}{cos^2\alpha\left(sin\alpha+1\right)}>0$ nếu biểu thức có nghĩa.

Bài 9 (SBT trang 189)

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, nếu :

a) $\cos\alpha=-\dfrac{1}{4},\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$

b) $\sin\alpha=\dfrac{2}{3},\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$

c) $\tan\alpha=\dfrac{7}{3},0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$

d) $\cot\alpha=-\dfrac{14}{9},\dfrac{3\pi}{2}< \alpha< 2\pi$

Hướng dẫn giải

a) Do $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ nên $sin\alpha< 0;cot\alpha>0;tan\alpha>0$.
Vì vậy: $sin\alpha=-\sqrt{1-cos^2\alpha}=\dfrac{-\sqrt{15}}{4}$.
$tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{-\sqrt{15}}{4}:\dfrac{-1}{4}=\sqrt{15}$.
$cot\alpha=\dfrac{1}{tan\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{15}}$.

Bài 10 (SBT trang 189)

Biết $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$. Tính :

a) $A=\dfrac{2\tan\alpha-3\cot\alpha}{\cos\alpha+\tan\alpha}$

b) $B=\dfrac{\cos^2\alpha+\cot^2\alpha}{\tan\alpha-\cot\alpha}$

Hướng dẫn giải

b) $\dfrac{cos^2\alpha+cot^2\alpha}{tan\alpha-cot\alpha}=\dfrac{\left(-\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{-\sqrt{7}}{3}\right)^2}{\dfrac{-3}{\sqrt{7}}+\dfrac{\sqrt{7}}{3}}$
$=\dfrac{\dfrac{7}{16}+\dfrac{7}{9}}{\dfrac{-9+7}{3\sqrt{7}}}=\dfrac{\dfrac{175}{144}}{\dfrac{-2}{3\sqrt{7}}}=\dfrac{-175}{96\sqrt{7}}$.

Bài 11 (SBT trang 189)

Cho $\tan\alpha-3\cot\alpha=6$ và $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$. Tính :

a) $\sin\alpha+\cos\alpha$

b) $\dfrac{2\sin\alpha-\tan\alpha}{\cos\alpha+\cot\alpha}$

Hướng dẫn giải

a) Do $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ nên $tan\alpha,cot\alpha>0$ và $sin\alpha,cos\alpha< 0$.
$\left\{{}\begin{matrix}tan\alpha-3cot\alpha=6\\tan\alpha cot\alpha=1\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}tan\alpha=6+3cot\alpha\\\left(6+3cot\alpha\right)cot\alpha=1\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}tan\alpha=6+3cot\alpha\\3cot^2\alpha+6cot\alpha-1=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}tan\alpha=6+3cot\alpha\\cot\alpha=\dfrac{-3+2\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}tan\alpha=3+2\sqrt{3}\\cot\alpha=\dfrac{-3+2\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.$.
Có $1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\Rightarrow cos^2\alpha=\dfrac{1}{tan^2\alpha+1}$.
Có thể đề sai.

Bài 12 (SBT trang 189)

Chứng minh các đẳng thức :

a) $\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{\cot\beta-\cot\alpha}=\tan\alpha\tan\beta$

b) $\tan100^0+\dfrac{\sin530^0}{1+\sin640^0}=\dfrac{1}{\sin10^0}$

c) $2\left(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\right)+1=3\left(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\right)$

Hướng dẫn giải

a) $\dfrac{tan\alpha-tan\beta}{cot\beta-cot\alpha}=\dfrac{\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}-\dfrac{sin\beta}{cos\beta}}{\dfrac{cos\beta}{sin\beta}-\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}}$
$=\dfrac{\dfrac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\dfrac{cos\beta sin\alpha-cos\alpha sin\beta}{sin\beta sin\alpha}}$
$=\dfrac{sin\beta sin\alpha}{cos\beta cos\alpha}=tan\alpha tan\beta$.

Có thể bạn quan tâm

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Cung và góc liên kết

Bài 4 (SGK trang 148)

Hướng dẫn giải

Bài 2 (SGK trang 148)

Hướng dẫn giải

Bài 1 (SGK trang 148)

Hướng dẫn giải

Bài 8 (SBT trang 189)

Hướng dẫn giải

Bài 3 (SGK trang 148)

Hướng dẫn giải

Bài 13 (SBT trang 190)

Hướng dẫn giải

Bài 14 (SBT trang 190)

Hướng dẫn giải

Bài 7 (SBT trang 189)

Hướng dẫn giải

Bài 15 (SBT trang 190)

Hướng dẫn giải

Bài 9 (SBT trang 189)

Hướng dẫn giải

Bài 10 (SBT trang 189)

Hướng dẫn giải

Bài 11 (SBT trang 189)

Hướng dẫn giải

Bài 12 (SBT trang 189)

Hướng dẫn giải

Có thể bạn quan tâm

Có thể bạn quan tâm