§1. Cung và góc lượng giác

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 140)

Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không  ? Khi nào trường hợp này xảy ra ?

Hướng dẫn giải

Trường hợp này xảy ra khi chúng sai khác nhau bội của 360⁰ (hay bội của 2π)

Bài 2 (SGK trang 140)

Đổi số đo của các góc sau đây ra rađian :

a) \(18^o\)

b) \(57^o30'\)

c) \(-25^0\)

d) \(-125^045'\)

Hướng dẫn giải

a) ; b) 1,0036; c) -0,4363; d) -2,1948.

Bài 3 (SGK trang 140)

Đổi số đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây :

a) \(\dfrac{\pi}{18}\)

b) \(\dfrac{3\pi}{16}\)

c) \(-2\)

d) \(\dfrac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải

a) 10⁰ ; b) 33⁰ 45’ ; c) -114⁰ 35’30’’ ; d) 42⁰ 58’19’’

Bài 4 (SGK trang 140)

Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo :

a) \(\dfrac{\pi}{15}\)

b) \(1,5\)

c) \(37^o\)

Hướng dẫn giải

a) cm = 4,19cm; b) 30cm; c) 12,92cm.

Bài 5 (SGK trang 140)

Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo :

a) \(-\dfrac{5\pi}{4}\)

b) \(135^0\)

c) \(\dfrac{10\pi}{3}\)

d) \(-225^0\)

Hướng dẫn giải

a) Trên hình bên. Cung có số đo

b) Nhận xét rằng 135⁰ – ( -225⁰ ) = 360⁰ . Như vậy cung 135⁰ và cung -225⁰ có chung điểm ngọn. Mà cung cũng là cung -225⁰ . Vậy cung 135⁰ cũng chính là cung theo chiều dương

c)

d)

Bài 6 (SGK trang 140)

Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tùy ý)

a)  \(k\pi\)

b) \(k\dfrac{\pi}{2}\)

c) \(k\dfrac{\pi}{3}\)

Hướng dẫn giải

Bài 7 (SGK trang 140)

Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM = \(\alpha\left(0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}\right)\). Gọi \(M_1;M_2;M_3\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo của các cung \(AM_1;AM_2;AM_3\)

Hướng dẫn giải

AM1 = – α + k2π,

AM2 = π – α + k2π,

AM3 = α + (k2 + 1)π

Bài 1 (SBT trang 181)

Đổi số đo của các góc sau ra độ, phút, giây ?

a) \(-4\)

b) \(\dfrac{\pi}{13}\)

c) \(\dfrac{4}{7}\)

Hướng dẫn giải

a) \(-4\approx-229^010'59"\)

b) \(\dfrac{\pi}{13}\approx13^050'21"\)

c) \(\dfrac{4}{7}\approx32^044'26"\)

Bài 2 (SBT trang 181)

Đổi số đo của các cung sau ra rađian (chính xác đến \(0,001\))

a) \(137^0\)

b) \(-78^035'\)

c) \(26^0\)

Hướng dẫn giải

a) \(137^0\approx2,391\)

b) \(-78^035'\approx-1,371\)

c) \(26^0\approx0,454\)

Bài 3 (SBT trang 182)

Một đường tròn có bán kính 25 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo :

a) \(\dfrac{3\pi}{7}\)

b) \(49^0\)

c) \(\dfrac{4}{3}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: \(l=R\alpha\).
a) \(l=25.\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{75\pi}{7}\) (cm).
b) Đổi \(49^o=\dfrac{49\pi}{180}\).
\(l=25.\dfrac{49\pi}{180}\left(cm\right)=\dfrac{245}{36}cm\).
c) \(l=25.\dfrac{4}{3}\left(cm\right)=\dfrac{100}{3}cm\).

Bài 4 (SBT trang 182)

Một hình lục giác đều ABCDEF (các đỉnh lấy theo thứ tự đó và ngược chiều quay của kim đồng hồ) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tính số đo bằng rađian của các cung lượng giác \(AB,AC,AD,AE,AF\) ?

Hướng dẫn giải

Dễ thấy

Bài 5 (SBT trang 182)

Cho cung lượng giác AB có số đo là 15 rad. Tìm số lớn nhất trong các số đo của cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B, có số đo âm ?

 

Hướng dẫn giải

Ta có số đo cung \(AB=15+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)

\(15+k2\pi< 0\Leftrightarrow k< -\dfrac{15}{2\pi}\)

Vậy với \(k=-3\) ta được cung AB có số đo âm lớn nhất là \(15-6\pi\)

Bài 6 (SBT trang 182)

Tìm số \(x\left(0\le x< 2\pi\right)\) và số nguyên k sao cho \(a=x+k2\pi\) trong các trường hợp

a) \(a=12,4\pi\)

b) \(a=-\dfrac{9}{5}\pi\)

c) \(a=\dfrac{13}{4}\pi\)

Hướng dẫn giải

a) \(a=12,4\pi=12\pi+0,4\pi=6.2\pi+0,4\pi\).
Suy ra: \(x=0,4\pi\).
b) \(a=-\dfrac{9}{5}\pi=-2\pi+\dfrac{1}{5}\pi\).
Suy ra: \(x=\dfrac{1}{5}\pi\).
c) \(a=\dfrac{13}{4}\pi=2\pi+\dfrac{5}{4}\pi\)
Suy ra: \(x=\dfrac{5}{4}\pi\).