§2. Giá trị lượng giác của một cung
Câu hỏi 1 trang 141 SGK Đại số 10
Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc α, 0o ≤ α ≤ 180o.
Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.
Hướng dẫn giải
Các số sinα; cosα; tanα; cotα được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0o ≤ α ≤ 180o
Câu hỏi 2 trang 142 SGK Đại số 10
Tính: \(\sin {{25\pi } \over 4};\,\cos ( - {240^0});\,tan( - {405^0})\)
Hướng dẫn giải
\(\eqalign{
& \sin {{25\pi } \over 4} = \sin (6\pi + {\pi \over 4}) = \sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \cos ( - {240^0}) = \cos ( - {180^0} - {60^0}) = \cos ( - {60^0}) = \cos {60^0} = {1 \over 2} \cr
& tan( - {405^0}) = tan( - {360^0} - {45^0}) = - \tan {45^0} = - 1 \cr} \)
Câu hỏi 3 trang 143 SGK Đại số 10
Từ định nghĩa của sinα và cosα, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.
Hướng dẫn giải
sinα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vecto (OK) trên trục Oy. Trục Oy là trục sin.
cosα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vecto (OH) trên trục Ox. Trục Oy là trục cos.
Câu hỏi 4 trang 145 SGK Đại số 10
Từ ý nghĩa hình học của tanα và cotα hãy suy ra với mọi số nguyên k, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cotα.
Hướng dẫn giải
Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó
tan(α + kπ) = tanα.
Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó
cot(α + kπ) = cotα.
Câu hỏi 5 trang 145 SGK Đại số 10
Từ định nghĩa của sinα, cosα. Hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.
Hướng dẫn giải
sinα = (OK) ;cosα = (OH)
Do tam giác OMK vuông tại K nên:
sin2 α + cos2 α = OK2 + OH2 = OK2 + MK2 = OM2 = 1.
Vậy sin2 α + cos2 α = 1.
\(\eqalign{
& 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} \cr
& 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }} \cr
& \tan \alpha .\cot \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} = 1 \cr} \)
Câu hỏi 6 trang 148 SGK Đại số 10
Tính: \(\cos {{ - 11\pi } \over 4};\,\tan {{31\pi } \over 6};\,\sin ( - {1380^0})\)
Hướng dẫn giải
\(\eqalign{
& \cos {{ - 11\pi } \over 4} = \cos ( - 2\pi - {{3\pi } \over 4}) = \cos ( - {{3\pi } \over 4}) = \cos ({{3\pi } \over 4}) = {{ - \sqrt 2 } \over 2} \cr
& \tan {{31\pi } \over 6} = \tan (4\pi + \pi + {\pi \over 6}) = \tan {\pi \over 6} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \sin ( - {1380^0}) = sin( - {4.360^0} + {60^0}) = \sin {60^0} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr} \)
Bài 1 trang 148 SGK Đại số 10
Có cung \(α\) nào mà \(\sinα\) nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
a) \(-0,7\); b) \( \frac{4}{3}\)
c) \(-\sqrt2\); d)\( \frac{\sqrt{5}}{2}\)
Hướng dẫn giải
Với mọi góc \(\alpha\) đều thỏa mãn \( - 1 \le \sin \alpha \le 1.\)
a) Vì \(-1 < -0,7 < 1\) nên có cung \(α\) mà \(sin α = -0,7.\)
b) Vì \( \frac{4}{3}> 1\) nên không có cung \(α\) có \(\sin\) nhận giá trị \( \frac{4}{3}.\)
c) Vì \(-\sqrt2 < -1\) nên không có cung \(α\) thỏa mãn.
d) Vì \( \frac{\sqrt{5}}{2} > 1\) nên không có cung \(α\) thỏa mãn.
Bài 2 trang 148 SGK Đại số 10
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a) \(\sin α = \frac{\sqrt{2}}{3}\) và \(\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}\);
b) \(\sinα = -\frac{4}{5}\) và \(\cosα = -\frac{3}{5}.\)
Hướng dẫn giải
Với mọi góc \(\alpha\) ta đều có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
\(a)\;{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \ne 1 \Rightarrow \) không thể đồng thời xảy ra hai đẳng thức trên.
\(b)\;{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} + {\left( { - \frac{3}{5}} \right)^2} \)\(= 1 \Rightarrow \) có thể đồng thời xảy ra hai đẳng thức trên.
\(c)\;{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {0,7} \right)^2} + {\left( {0,3} \right)^2} = 0,58 \ne 1 \)\(\Rightarrow \) không thể đồng thời xảy ra hai đẳng thức trên.
Bài 3 trang 148 SGK Đại số 10
Cho \(0 < α < \frac{\pi }{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác
a) \(\sin(α - π)\); b) \(\cos\left( \frac{3\pi }{2}- α\right)\)
c) \(\tan(α + π)\); d) \(\cot\left(α + \frac{\pi }{2}\right)\)
Hướng dẫn giải
Với \(0 < α < \frac{\pi}{2}\) ta có: \(\sin \alpha > 0,\;\;\cos \alpha > 0,\;tan\alpha > 0,\;\;\cot \alpha > 0.\)
a) Ta có: \(0 < \alpha < \pi \Rightarrow \alpha - \pi < 0 \Rightarrow \sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0.\)
b) Ta có: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \sin\alpha < 0.\)
c) Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) = \tan \alpha >0.\)
d) Ta có: \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \tan \alpha<0.\)
Bài 4 trang 148 SGK Đại số 10
Tính các giá trị lượng giác của góc \(α\), nếu:
a) \(\cosα = \frac{4}{13}\) và \(0 < α < \frac{\pi }{2}\);
b) \(\sinα = -0,7\) và \(π < α < \frac{3\pi }{2}\);
c) \(\tan α = -\frac{15}{7}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\);
d) \(\cotα = -3\) và \( \frac{3\pi }{2} < α < 2π\).
Hướng dẫn giải
a) Do \(0 < α < \frac{\pi}{2}\) nên \(\sinα > 0, \, \tanα > 0, \) \( \cotα > 0.\)
\(\sinα = \sqrt{1-(\frac{4}{13})^{2}}=\frac{\sqrt{153}}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13}\)
\(\cotα = \frac{4}{13}:\frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}\); \(\tanα = \frac{3\sqrt{17}}{4}\)
b) \(π < α < \frac{3\pi }{2}\) nên \(\sinα < 0, \cosα < 0, \)\(\tanα > 0, \cotα > 0\)
\(\cosα = -\sqrt{(1 - sin^2 α)} = \)\(-\sqrt{(1 - 0,49) }= -\sqrt{0,51} ≈ -0,7141\)
\(\tanα ≈ 0,9802; \cotα ≈ 1,0202\).
c) \( \frac{\pi }{2} < α < π\) nên \(\sinα > 0, \cosα < 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0 \)
\(\cosα = -\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{15}{7})^{2}}}\)\(=-\frac{7}{274}≈ -0,4229\).
\(\sinα = \sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{7}{15})^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{274}}\)\(=0,9062\)
\(\cotα = - \frac{7}{15}\)
d) Vì \( \frac{3\pi}{2} < α < 2π\) nên \(\sinα < 0, \cosα > 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0\)
Ta có: \(\tanα = \frac{1}{\cot\alpha }=-\frac{1}{3}\)
Bài 5 trang 148 SGK Đại số 10
Tính \(α\), biết:
a) \(\cosα = 1\); b) \(\cosα = -1\)
c) \(\cosα = 0\); d) \(\sinα = 1\)
e) \(\sinα = -1\); f) \(\sinα = 0\),
Hướng dẫn giải
a) \(α = k2π, k \in \mathbb Z\)
b) \(α = (2k + 1)π, k \mathbb Z\)
c) \(α = \frac{\pi}{2}+ kπ, k \in\mathbb Z\)
d) \(α = \frac{\pi }{2} + k2π, k\in \mathbb Z\)
e) \(α = \frac{3\pi }{2}+ k2π, k \in\mathbb Z\)
f) \(α = kπ, k \in\mathbb Z\)