§3. Elip

Lý thuyết

Bài 3.28 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12;0) và điển (13;0) nằm trên elip.

Hướng dẫn giải

a) \((E):{{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\)

b) \((E):{{{x^2}} \over {169}} + {{{y^2}} \over {25}} = 1\)

Bài 3.29 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau: 

a) \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\)

b) \({x^2} + 4{y^2} = 4\)

Hướng dẫn giải

a) \((E):{{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

- Hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right)\), \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\).

- Bốn đỉnh: \({A_1}\left( { - 3;0} \right)\), \({A_2}\left( {3;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 2} \right)\), \({B_2}\left( {0;2} \right)\).

- Trục lớn: \({A_1}{A_2} = 6\)

- Trục nhỏ: \({B_1}{B_2} = 4\)

b) \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

- Hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\),  \({F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\)

- Bốn đỉnh: \({A_1}\left( { - 2;0} \right)\), \({A_2}\left( {2;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 1} \right)\), \({B_2}\left( {0;1} \right)\)

- Trục lớn:\({A_1}{A_2} = 4\)

- Trục nhỏ: \({B_1}{B_2} = 2\)

Bài 3.30 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho đường tròn tâm C \(\left( {{F_1};2a} \right)\) cố định và một điểm \({F_2}\) cố định nằm trong (C 1). 

Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua \({F_2}\) và (C)  luôn tiếp xúc với (C 1). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

Hướng dẫn giải

C (M;R) đi qua \({F_2} \Rightarrow M{F_2} = R\,\,(1)\)

C (M;R) tiếp xúc với C1 \(\left( {{F_1};2a} \right) \Rightarrow M{F_1} = 2a - R\)  (2)

 (1) + (2) cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)

Vậy M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\), \({F_2}\)và trục lớn 2a.

Bài 3.31 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y) di động có tọa độ thỏa mãn

\(\left\{ \matrix{
x = 7\cos t \hfill \cr 
y = 5\sin t \hfill \cr} \right.\)

trong đó t là tham số. Hãy chững tỏ M đi động trên một elip.

Hướng dẫn giải

Điểm M di động trên elip (E) có phương \({{{x^2}} \over {49}} + {{{y^2}} \over {25}} = 1.\)

Bài 3.32 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: 

a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \({c \over a}\) bằng \({5 \over {13}}\);

b) Tiêu điểm \({F_1}( - 6;0)\) và tỉ số \({c \over a}\) bằng \({2 \over 3}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có : \(2a = 26 \Rightarrow a = 13\) và:

\({c \over a} = {c \over {36}} = {5 \over {13}} \Rightarrow c = 5\)

Do đó: \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 169 - 25 = 144\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là: 

\({{{x^2}} \over {169}} + {{{y^2}} \over {144}} = 1\)

b) Elip có tiêu điểm \({F_1}\left( { - 6;0} \right)\) suy ra c = 6.

Vậy : \({c \over a} = {6 \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow a = 9\)

Do đó: \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 81 - 36 = 45\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là

\({{{x^2}} \over {81}} + {{{y^2}} \over {45}} = 1\)

Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết:

a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\);

b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M. 

Hướng dẫn giải

a) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

(E) đi qua \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:

\(\left\{ \matrix{
{{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr 
{9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = 25 \hfill \cr 
{b^2} = 9. \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình của (E) là : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

b) xét elip (E) : \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Vì \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \({9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)\)

Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\)

\( \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5\)

và: \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\)

Thay vào (1) ta được : 

\(\eqalign{
& {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr 
& \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr} \)

\( \Leftrightarrow {b^4} = 14\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = 4\)

Suy ra \({a^2} = 9\)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là 

\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E) : \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\)

a) Tìm tọa độ hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) và các đỉnh của (E).

b) Tìm \(M \in (E)\) sao cho M nhìn \({F_1}\), \({F_2}\) dưới một góc vuông.

Hướng dẫn giải

(E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

a) Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9\)

\(\Rightarrow a = 5,b = 3\)

Ta có : \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\)

\( \Rightarrow c = 4\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và có bốn đỉnh là \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({A_2}\left( {5;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 3} \right)\), \({B_2}\left( {0;3} \right)\).

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có : 

\(\left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr 
\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr 
O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{
9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr 
{x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr 
{y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \pm {{5\sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr 
y = \pm {9 \over 4}. \hfill \cr} \right.\)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là : 

\(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\), \(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\)

Bài 3.35 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \({c \over a}\) trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Hướng dẫn giải

a) Ta có : \(a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)

\( \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\)

\( \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \({c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

b) \(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow b = c\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\)

\(\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\)

\( \Rightarrow a = c\sqrt 2 \)

Vậy \({c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

c) \({A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\)

\(\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\)

\(\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\)

Vậy \({c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}} \)

Bài 3.36 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E) : \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

(E): \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\,(1)\)

Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của 

d:y - 1 = k(x - 1) hay y = k(x - 1) + 1 (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(4x + 9{\left[ {k(x - 1) + 1} \right]^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{\left( {1 - k} \right)^2} - 36 = 0\,(3)\)

Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn

MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm \({x_A}\), \({x_B}\) sao cho:

\({{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {x_M} \Leftrightarrow {{ - 18k(1 - k)} \over {2(9{k^2} + 4)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8 \Leftrightarrow k =  - {4 \over 9}\)

Vậy phương trình của d là : 

\(y =  - {4 \over 9}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay 4x + 9y - 13 = 0.