Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2015 - 2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội

QU GIA HÀ IẠ TR NG ĐH KHOA NHIÊNƯỜ THI TUY SINH VÀO 10Ề ỚTR NG THPT CHUYÊN NĂM 2015ƯỜM«n thi: To¸n häc(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr êng chuyªn)Thêi gian lµm bµi :120 phót Câu 1: 1) Gi a,b là hai th phân bi th mãn ỏ2 23 2a b+ =a) Ch ng minh ng ằ3a b+ =- b) Ch ng minh ng ằ3 345a b+ =-2) Gi ph ng trình ươ2 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =îCâu 21) Tìm các nguyên ,x ykhông nh sao cho 1xy chia cho ế()()1 1x y- -2) ,x ylà nh ng th th mãn ng th ứ2 22 0.x y+ Tìm giá tr nh và ấnh nh bi th ứ3 1xyPy=+Câu 3. Cho tam giác nh ABC không cân có tâm ng tròn ti là đi ườ ng th ng ườ AI BC D. E,F là các đi ng ượ qua IC,IB.1) Ch ng minh ng EF song song BC.2) M,N,J là trung đi các đo th ng ượ DE,DF,EF. ng tròn ngo ườ ạti tam giác AEM ng trìn ngo ti tam giác ườ AFN khác A. Ch ng minh ứr ng đi M,N,P,J cùng trên ng tròn.ằ ườ3) Ch ng minh ng ba đi A,J,P th ng hàng.ẳCâu 4.1) Cho ng vuông ả2015 2015´ Kí hi ôệ() ,i là hàng th th Ta vi các sế ốnguyên ng 2015 vào các ng theo quy sau:ươ i) vi vào (1,1).ố ượ ii) vi vào ượ ế()(), 1i i> thì k+1đ vi vào ượ ế()1, 1i j- iii) vi vào ượ ế() 1, thì k+1 cượvi vào ế()1,1j+ (Xem hình 1.)Khi đó 2015 vi vào ượ ế(), .m Hãy xác nh mvà n. 10 …2 …4 …7 ……Hình 12) Gi a,b,c là các th ng th mãn ươ ỏ4.ab bc ac abc+ Ch ng minh ng ằ()2 22a ab bc ac+ +H ng n:ướ ẫCâu a) Gi a,b là hai th phân bi th mãn ỏa)223 23 2a bb aì+ =ïí+ =ïî ()()()()()()()2 23 03 03 003a ba ba ba loaia bÛ =Û =Û =- =éÛê+ =-ëb)()()33 33 3273 279 27a ba ab ba ab+ =-Û =-Û =- vì ()()2 223 42 42a ba ab bab+ =Û =Û =-v ậ3 345a b+ =-b). Gi ph ng trình ươ2 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =îTa th x-y =0 là nghi ph ng trình. ươN 0y nhân hai ph ng trình yế ươ ớ2 22 22 54 5xy xyx xyì+ =ïí+ =ïîÛ2 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =î Û2 22 52 0x xyx xy y+ =ìí- =î Û2 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =î Û()()2 52 0x xyx y+ =ìïÛí- =ïî()()()()2 5102 52 02 52 4,05 5x xyx yx yx xyx yx xyx yx yé =ìïÛ =êí- =+ =ìïï êîÛíê- =+ =ìïî ïêÛ =-íê- =ïîëCâu 2.a) Tìm các nguyên ,x không nh sao cho 1xy chia cho ế()()1 1x y- -Ta có xy M()()1 1x y- suy ra xy 1M xy +1- –y Mà xy +1- –yM xy +1- –y Suy ra (x-1) (y -1)M()()1 1x y- suy ra x-1 -1 và y-1 -1 Suy ra (x 1) ta có suy ra suy ra ho 3ặ3) ,x ylà nh ng th th mãn ng th ứ2 22 0.x y+ Tìm giá tr nh và ấnh nh bi th ứ3 1xyPy=+3 32 0.x y+ =2 22 212 12x yy y- -Û =- =()()2 22 223 13 04 12xy xyPx ypx xy pp= =- -Û =D Ph ng trình có nghiêm khi ươ0D suy ra 12p 0³ 23 3p p³ Vây max khi 13 3xy=- suy ra 1114 2727.2 27 143 3y x- -= =- =Câu 3: a) Ta có: AD là phân giác BD ABDC ACÞ mà ,BED CDFD là tam giác cân,BE ABBC FECF ACÞ ÞPb) Ta có ···BC FE FED EDB BEDÞ =Pmà ···180APM AEM BED= °- =··APM DEFÞ =T ng ươ ự··DFE APN=·····APN APM DFE FED MPNÞ =mà ·····180MJN MDN EDF MJN MPN MPNJ= ti pộ ếc) Ta có ··APM DEF và ·····,JPM JNM JEM JPM APM PJ= th ng hàng ẳCâu 4: 1) Theo bài, các nguyên ng theo ng hàng chéo ng: Hàng chéo ươ ượ ảth nh có hàng chéo th hai có ...ứ ốGi hàng chéo th kthì ta có:( 1) 1) 82 2k xx ké ù- +< =ê úê úÁp ng ụ2015x= ta có 8.2015632ké ù- += =ê úê úS tiên hàng chéo th ứ63k= là 1)1 19542k k-+ =Nh ố2015 trí th ứ2015 1954 62- hàng chéo th ứ63 (V trí áp chót)ịT nó là ủ(2, 62)2) Theo Cauchy ta có ố3 344 1abc ab bc ac abc³ ³32 233 3a abc cÞ ³BĐT ng ng ươ ươ()32 23 2a ab bc ac+ (1)Đ ặ()3 32 2, 0a z= >()3 31 2x xyz yÛ +Áp ng BĐT Schur 3: ậ()()()3 33x xyz xy yz xz z+ +()()()()()()0x yÛ th không âm ,x zCh ng minh BĐT ứDo vai trò ,x nh nhau gi ửx z³ ³()()0z yÞ ³Ta xét ()()()()2 20x xz yz z- ³()()()()()()()()()()()()()()0 00x xx ydpcmÞ ³Þ ³ÞTa có ()()()3 33 2x xyz xy yz xz y+ +D ra khi ả1, 0x za cx z= =éÞ =ê= =ë