Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2015 - 2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nộ

Doc24.vn ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015M«n thi: To¸n häc(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr êng chuyªn)Thêi gian lµm bµi :120 phót Câu 1: 1) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn 23 2a b+ =a) Chứng minh rằng 3a b+ b) Chứng minh rằng 345a b+ -2) Giải hệ phương trình 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =îCâu 21) Tìm các số nguyên ,x ykhông nhỏ hơn sao cho 1xy chia hết cho ()()1 1x y- -2) Với ,x ylà những số thực thỏa mãn đẳng thức 22 0.x y+ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1xyPy=+Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của qua IC,IB.1) Chứng minh rằng EF song song với BC.2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.Câu 4.1) Cho bảng vuông 2015 2015´ Kí hiệu ô() ,i là hàng thứ cột thứ Ta viết các sốnguyên dương từ đến 2015 vào các của bảng theo quy tắc sau: i) Số được viết vào (1,1). ii) Nếu số được viết vào ()(), 1i i> thì số k+1được viết vào ()1, 1i j- iii) Nếu số được viết vào () 1, thì số k+1 được viếtvào ()1,1j+ (Xem hình 1.)Khi đó số 2015 được viết vào (), .m Hãy xác định mvà n. 10 …2 …4 …7 ……Hình 12) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 4.ab bc ac abc+ Chứng minh rằng ()2 22a ab bc ac+ +Doc24.vnHướng dẫn:Câu a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a)223 23 2a bb aì+ =ïí+ =ïî ()()()()()()()2 23 03 03 003a ba ba ba loaia bÛ =Û =Û =- =éÛê+ -ëb)()()33 33 3273 279 27a ba ab ba ab+ -Û -Û vì ()()2 223 42 42a ba ab bab+ =Û =Û -vậy 345a b+ -b). Giải hệ phương trình 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =îTa thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình. Nếu 0y nhân hai vế của phương trình với y2 22 22 54 5xy xyx xyì+ =ïí+ =ïîÛ2 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =î Û2 22 52 0x xyx xy y+ =ìí- =î Û2 22 54 5x xyx xy+ =ìí+ =î Û()()2 52 0x xyx y+ =ìïÛí- =ïî()()()()2 5102 52 02 52 4,05 5x xyx yx yx xyx yx xyx yx yé =ìïÛ =êí- =+ =ìïï êîÛíê- =+ =ìïî ïêÛ -íê- =ïîëCâu 2.a) Tìm các số nguyên ,x không nhỏ hơn sao cho 1xy chia hết cho ()()1 1x y- -Ta có xy M()()1 1x y- suy ra xy 1M xy +1- –y Mà xy +1- –yM xy +1- –y Suy ra (x-1) (y -1)M()()1 1x y- suy ra x-1 -1 và y-1 -1 Suy ra (x 1) ta có suy ra suy ra hoặc 3Doc24.vn3) Với ,x ylà những số thực thỏa mãn đẳng thức 22 0.x y+ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1xyPy=+3 32 0.x y+ =2 22 212 12x yy y- -Û =()()2 22 223 13 04 12xy xyPx ypx xy pp= =- -Û =D Phương trình có nghiêm khi 0D suy ra 12p 0³ 23 3p p³ Vây max khi 13 3xy= suy ra 1114 2727.2 27 143 3y x- -= =Câu 3: a) Ta có: AD là phân giác BD ABDC ACÞ mà ,BED CDFD là tam giác cân,BE ABBC FECF ACÞ ÞPb) Ta có ···BC FE FED EDB BEDÞ =Pmà ···180APM AEM BED= =··APM DEFÞ =Doc24.vnTương tự ··DFE APN=·····APN APM DFE FED MPNÞ =mà ·····180MJN MDN EDF MJN MPN MPNJ= nội tiếpc) Ta có ··APM DEF= và ·····,JPM JNM JEM JPM APM PJ= thẳng hàng Câu 4: 1) Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứnhất có số, hàng chéo thứ hai có số, ...Giả sử số nằm hàng chéo thứ kthì ta có:( 1) 1) 82 2k xx ké ù- +< =ê úê úÁp dụng 2015x= ta có 8.2015632ké ù- += =ê úê úSố đầu tiên hàng chéo thứ 63k= là 1)1 19542k k-+ =Như vậy số 2015 nằm vị trí thứ 2015 1954 62- của hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót)Tọa độ của nó là (2, 62)2) Theo Cauchy số ta có 344 1abc ab bc ac abc³ ³32 233 3a abc cÞ ³BĐT tương đương ()32 23 2a ab bc ac+ (1)Đặt ()3 32 2, 0a z= >()3 31 2x xyz yÛ +Áp dụng BĐT Schur bậc 3: ()()()3 33x xyz xy yz xz z+ +()()()()()()0x yÛ với mọi số thực không âm ,x zChứng minh BĐT Do vai trò ,x như nhau giả sử z³ ³()()0z yÞ ³Ta xét ()()()()2 20x xz yz z- ³()()()()()()()()()()()()()()0 00x xx ydpcmÞ ³Þ ³ÞTa có ()()()3 33 2x xyz xy yz xz y+ +Dấu xảy ra khi 1, 0x za cx z= =éÞ =ê= =ëTrên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.