Đề thi HSG Toán 9 Quảng Ninh năm 2022 có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 

QUẢNG NINH 

 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 

NĂM HỌC: 2021 – 2022 

Môn: TOÁN 

Ngày thi: 23/02/2022 

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

 

 

Câu 1. (4,0 điểm) 

a) Cho 

, ,

x y z

 là các số thực dương thỏa mãn 

3.

xy

yz

zx







 Tính giá trị của biểu thức: 

2

2

2

.

3

3

3

x

y

y

z

z

x

A

z

x

y



















 

b) Cho hai hàm số 

2

y

x



 và 





2

1

5

y

m

x

m





 

 với 

m

 là tham số. Hãy tìm tất cả các giá trị của 

m

 để đồ 

thị của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 

Câu 2. (5,0 điểm) 

a) Giải phương trình 

2

2

6

2

4

5

3

2.

x

x

x

x

x

 



 





 

b) Giải hệ phương trình 





2

2

2

2

3

2

3

0

.

3

4

0

x

y

x

x

y

 

 





 





 

Câu 3. (4,0 điểm) 

a)

 

Tìm tất cả các cặp số nguyên 





;

x y

 thỏa mãn phương trình: 

3

3

2

2

3

1.

x

y

y

y









 

b) Tìm tất cả các số nguyên 

m

 để phương trình 

3

2

3

2

x

mx

mx







 có nghiệm là số hữu tỉ. 

Câu 4. (6,0 điểm) 

Cho đường tròn 





;

O R

 

và dây 

BC

 cố định không là đường kính của 

 

.

O

 Lấy điểm 

A

 trên cung lớn 

BC

 sao 

cho 

AB

AC



  và 

0

90 ,

ACB





  gọi 

D

  là  điểm  chính  giữa  cung  nhỏ 

.

BC

  Từ 

B

  hạ 

BH

  vuông  góc  với 





,

H

AD



 từ 

D

 hạ 

DK

 vuông góc với 





.

AC K

AC



 Đường thẳng 

BH

 cắt đường thẳng 

DK

 và 

AC

 lần 

lượt tại 

E

 và 

.

F

 

a) Chứng minh 





;

E

O R



 và 

.

HK BC



 

b) Hạ 

DL

 vuông góc với 





.

AB L

AB



 Chứng minh đường thẳng 

KL

 đi qua trung điểm của đoạn thẳng 

.

BC

 

c) Chứng minh đường thẳng 

AE

 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi 

A

 di chuyển trên cung 

BC

 nhưng 

vẫn thỏa điều kiện đề bài. 

Câu 5. (1,0 điểm) 

Trên bảng người ta viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 

1; 2;...; 2021; 2022

 và thực hiện các thao tác sau: Xóa đi 

hai số bất kỳ (trong 2022 số trên) rồi lại viết lên bảng một số bằng tổng của hai số vừa xóa, cứ tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một số. Hỏi số còn lại trên bảng là số chẵn hay số lẻ? Vì sao? 

-------------HẾT------------- 

 

ĐỀ THI CHÍNH THỨC