PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS VĨNH NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2017 – 2018

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm).

a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì luôn chia hết cho 6.

b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức

Câu 2 ( 2 điểm).

a/ Tính giá trị của biểu thức

b/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện .

Chứng minh rằng

Câu 3 ( 2 điểm).

a/ Giải phương trình:

b/ Tìm x, y thỏa mãn điều kiện

Câu 4 (3 điểm).

a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn và có diện tích là S. Chứng minh rằng .

b/ Cho tam giác ABC, có góc A bằng 60⁰, đường phân giác AD. Chứng minh rằng

c/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD BC; OE AC; OF AB. Hãy xác định vị trí của điểm O để có giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương a.b.c=1 .

Chứng minh rằng

-------------------Hết-------------------

Học sinh không sử dụng máy tính có chức năng soạn thảo.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS VĨNH NINH

HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2017 – 2018

Môn: Toán

I. Một số chú ý khi chấm bài

• Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.

• Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

• Bài hình nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm.

• Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II. Đáp án và biểu điểm

a) Ta có A = =

Vì a – 1; a; a + 1 là ba số nguyên liên tiếp.

Suy ra và hay

Mà với mọi a là số nguyên

Suy ra A =

Vậy luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên A

0,25đ

b) Ta có

Do x, y là các số nguyên nên và là ước của 3

Ta có các trường hợp sau

TH1

TH2 (loại)

TH3

TH4 (loại)

Vậy (x, y) = (0; 1) hoặc (0; -1)

0,5đ

0,25đ

Câu 2 ( 2 điểm).

a/ Tính giá trị của biểu thức

b/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện .

Chứng minh rằng

a/ Ta có

=

= 1

0,25đ

b) Vì => => ab + bc + ca = 1

Khi đó ta có

Suy ra

= 2(ab + bc + ca)

= 2

0,25

Câu 3 ( 2 điểm).

a/ Giải phương trình:

b/ Tìm x, y thỏa mãn điều kiện

a)

ĐKXĐ:

Ta có

x = 3(TM ĐKXĐ)

Vậy x = 3

0,25

b/ Ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x, y) = ( , 0); (-, 0)

0,25

05

0,25

Câu 4 (3 điểm).

a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn và có diện tích là S. Chứng minh rằng .

b/ Cho tam giác ABC, có góc A bằng 60⁰, phân giác AD. Chứng minh rằng

c/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD BC; OE AC; OF AB. Hãy xác định vị trí của điểm O để có giá trị nhỏ nhất.

BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198

160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k

250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k

210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k

30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k

265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k

50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k;

90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k

a)

Kẻ đường cao BH

Ta có S = (1)

Lại có sinA = => BH = AB.sinA (2)

Từ (1) và (2) ta có

1đ

b/ Ta có S_ABC = S_ABD + S_ACD

Do đó

Hay

=>

Nên ta có

0,25đ

c/ Vẽ đường cao AH và OK vuông góc với AH

Ta có OE² + OF² = OA² AK²

Mặt khác có OD = HK

Nên ta có OD² + OE² + OF² AK² + HK²

Áp dụng bất đẳng thức ta có

OD² + OE² + OF² AK² + HK² =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi O là trung điểm của AH

Vậy Min(OD² + OE² + OF²) = khi O là trung điểm của AH.

0,25đ

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương abc=1 .

Chứng minh rằng

Đặt Đk: x, y, z >0. Thì ta có

Áp dụng Bất đẳng thức

Ta có

Dấu “=” xảy ra khi hay a=b=c=1

0,25

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Đề thi HSG Toán 9 huyện Vĩnh Ninh năm 2017-2018

Nội dung tài liệu

Các tài liệu liên quan

Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu