Đề thi HSG Toán 9 huyện Lộc Ninh năm 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO LỘC NINH KỲ THI CHỌN HSG THCS CẤP HUYỆN Năm học: 2013 - 2014 ĐỀ CHÍNH Đề thi môn: Toán 9 Ngày thi: 14//01 /2014 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 ừang) ( Không kể thời gian phát đề ) Câu 1: (4 điểm) Cho A = ị 1 2^-2 +1 ] í 1 2ì x 4 x - 4 x + x - \ ; ^Vx-1 *- 1, a/ Rút gọn A. b/ Với giá trị nào của X thì A đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 2: (4 điểm) ' a/ Cho n lả số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là họp số , b/ Tìm một sổ có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng l i ' Khi hoán vị các chữ số cho nhau và đem số mới nhân với số ban đầu thỉ tích sẽ lớn hơn số ban đầu 1428 đơn vị. Câu 3: (3 điểm) Chứng minh rằng nếu 0'2 =2(xy + 2) [x + y = 6 b/ Giải phưcmg trình sau: bj) -Ịx -+V2x - ĩ 4-"\x —\Ỉ2x - ì = V 2 b2) X4 - 2x3 -1- 2x2 + 4x - 8 = 0 Câu 5: (4 điểm) đường thăng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh: a/ KM//AB b/ QD = QC Hết. - Họ và tận ĩhi sinh. ■Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO LỘC NINH KỲ THI CHỌN HSG THCS CẤP HUYỆN Năm họe: 2013 - 2014 Đáp án Đề thi môn: Toán 9 Ngày thi: 14 /01 /2014 Câu Đáp án a) Rút gọn: 2\ í 1 2VĨ-2 ì/ 1 l^Vx+l x~jx--Jx + x - l jl V-v/x-1 x-1 / 1 \ị 2VĨ- 2 Vx+1-2 > ^yịx+ỉ x j x - -Ịx + X- 1J ^Ụx - ỉ\ - Jx +ỉ); x - = _ Ụ x - l f _ 4 x -1 (4đ) b) (* -l) Vĩ + l 0,5đ lđ l - 2 - J x + 2 ( 1— .\ 1 Biểu điểm > 0;x * 1) lđ ( 2 _ 4 x -1 _ 4 x + 1-2 VĨ+1 Vĩ”+1 "Jx+1 Mà ^ > 0 ^ ^ + Ì > Ỉ O - j 3 -— < 2 V* +1 D ấ u x ã y ra <=> vl> —1 <=>= 0 Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x=0 a) Chứng minh n4 + 4n là hợp số. n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng: n - 2k hoặc n = 2k+l ( keN*) + Với n = 2k, ta có : n4 + 4n = (2k)4 + 42k lớn hơn 2 và chia hết cho 2 do đó n4 + 4n là hợp số. + Với n = 2k + 1, ta có : n4 + 4n = n4 +4 .4 = n4 + (2.4k)2 = (n2 +2.4k)2 - (2.n.2k)2 2 = (n2 + 2 + n.2 X n2 + 22k+1 - n.2k+1) (4đ) = Ề(n+2k)2 + 22k][(n - 2kf + 22k 1 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 62 ừýLò'' Mỗi thừa sớ đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số. b)T ìm sốõ& Số phải tìm eó dạng ab với a,b 6 N và 0 < a < b < 9 \ a * 0 Theo đề bài ta có: ịa + b = l \ab-ba = ab + 1428 ịb = 7 - a * 1(1 Oa + 6)(10ố +a -1) -1428 = 0 ịb = 1 - a O |27a2-186a + 315 = 0 ịb = 7 - a <=>\ 35 a=3Va=— 9 a e N => a = 3 => b= 4 Do đó sổ phải tìm là 34 1 đ ip 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Chứng minh rằng nểu 00 <=> yz + xy - y2 - xz > 0 y(z + x) > y2 + xz o ( X + z) > y + —xz (*) y 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Nhân hai vế (*) cho - + - > 0, ta có : í1 +- X\s ( x + z) > y lìx1 -+- + —xz fl 0 \x z ) \ x Z) y \x z) <=>f- + - ì ( x + z) > y í - + - i + —(z + x) \x z) \x z) y a) Giải hệ phương trình: ị x 2 + y 2 = 2(xy + 2) \x+y=6 0,5đ -+- 0,5đ 4 (5đ) 0 ị x 2 + y 2 = 2xy + 4 [x + y = 6 [jc + y - 6 oỊM 0,5đ 0,25đ -* [jc + y = 6 * —,y = 2 <=> 0,25đ X + _y = 6 X- y = -2 [xx +y=6 <=> X = 4;y = 2 0,5đ _x = 2-;^ = 4 _____ Vậy nghiệm (x,y) của hệ phương trình là ( 4; 2) và ( 2; 4) b/ Giải phương trình sau: bi) v* + v 2 x - ĩ + y /x - y / 2 x - ỉ =yfĩ (1) (ĐKx>ỉ) 0,25đ (1) <=> ^2x + 2 ^ 2 x - ĩ + 4 ' 2 - x - 2 ' Ị 2 x - \ = 2... <=> ^ 2 x - ỉ + 2 y Ị 2 x - ĩ +7 + y Ị ĩ x - ỉ —2yj2x -1 +7 = 2 <=>V (v 2 * -l+ lf + V(V2jc-1 - l 7 = 2 o /ìịS |V2JC- 1 + I| +|V2JC- 1 - I| = 2 (*) 0,5đ Nếu A/2X - 1 -1 > 0 <=> X > 1 ta có: (*)<=> V2x-1+1 + V2x-1.-1 = 2 <=> V2x-1 = 1 <=> X = 1 ( thỏa diều kiện) 0,25đ Nếu V 2x-1-1<0 <=> - < * < 1 , ta có: 2 ( * ) o V2x-1+1-V2x-1+1 = 2 <=> Ox = 0 suy ra phương trình có nghiệm với mọi X thỏa mãn - < X< 1 0,25đ 2 1 Vậy ngiệm phương trình là - < X< 1 0,25đ 1 b2) x4- 2 x 3 + 2x2 + 4 x - 8 = 0 o X4 -2x2 -2x3 +4x +4x2 - 8 = 0 <=> x2(x2 - 2) - 2x(x2 - 2) +4(x2 - 2) = 0 o (x -2)(x -2x +4 ) = 0 (*) V ì X2 - 2 x +4=(X-l)2+3>0 Vx Do đó (*) <=> X2 - 2 = 0 <=> X = ± V2 lđ 0,25đ 0,75đ B 0,5đ 5 (4đ) a)Chứng minh KM //AB Gọi I là trung điểm AB, E = IK nCD ; R = IM nC D . + Xét hai tam giác KIB và KED, ta có Góc ABD = goc BDC KB = KD ( K là trung điểm BD ) góc IKB = góc EKD Suy ra tam giác KIB = tam giac KED => IK = KE + Chứng minh tương tự : Tam giác MIA = tam giac MRC Suy ra: MI = MR Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR nên KM là đường trung bình => K M // CD. Do CPU AB (gt) => KM//AB_____________ _ 2đ b) Ta có IA = IB, KB = KD (gt) => IK là đường trung bình của tam giác ADB => IK//AD hay IE//AĐ Chứng minh tương tự trong tam giác ABC ta có IM//BC hay IR//BC. Ta có: QK 1A D (gt); IE//AD (cmt) => QK 1 IE Tương tự: QM 1 IR Tư trên có : IK = KE; QK lI E => QK là trung trực ứng với cạnh IE cùa tam giác 1ER Tương tự QM là trung trực thứ hai của tam giác 1ER Hạ QH ± CD suy ra QH là đường trung trực thứ ba của tam giác 1ER hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD. Suy ra Q cách đều c và D hay QD = QC 1,5 đ