Đề thi HSG Toán 9 Hà Tĩnh năm 2022 có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 

HÀ TĨNH 

 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 

NĂM HỌC: 2021 – 2022 

Môn: TOÁN 

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

 

 

I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm, thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

 

Câu 1. 

Cho 

3

3

1

2

3.

2

3

a









 Tính giá trị của biểu thức 

3

3

2022.

P

a

a







 

Câu 2. 

Tính giá trị của biểu thức 

2

1

4

1

1

2

x

x

x

A

x

x x

x

x

x































































 khi 

2022.

x



 

Câu 3. 

Cho các số thực

 

, ,

x y z

 thỏa mãn 

2

2

.

3

5

x

y

z

x

y

z



 



  



 Tính giá trị của biểu thức 

2

2

2

2

3

2

x

xy

P

x

y







 với 

,

0.

x y



 

Câu 4. 

Giải phương trình 

1

2

3

2

3.

x

x

x





  

 











 

Câu 5. 

Giải hệ phương trình 





2

2

2

1

8

.

1

2

x

y y

x

y

x y

y x

x

y

 

 









  



 

Câu 6. 

Tìm bốn chữ số tận cùng của 

2022

5

 trong hệ thập phân. 

Câu 7. 

Cho hình vuông cạnh 

2

a

 và hai nữa đường tròn bán kính cùng bằng 

,

a

 tiếp xúc 

với nhau như hình vẽ. Một đường tròn 

 

C

 tiếp xúc với hai nữa đường tròn đã cho và 

tiếp xúc với cạnh hình vuông (hình vẽ). Tính diện tích hình tròn 

 

.

C

 

Câu 8. 

Cho đường thẳng 





:

2

3

d y

m x



 

 với 

3

0,

.

2

m

m





 Biết rằng đường thẳng 

d

 luôn cắt hai trục tọa độ 

Ox

và 

Oy

 tại hai điểm 

,

A B

 phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

2

2

1

1

.

OA

OB



 

Câu 9. 

Cho tam giác nhọn 

ABC

 cân tại 

,

A

 đường cao 

,

AD

 trực tâm 

.

H

 Biết 

49

,

14

.

AH

cm BH

cm





 Tính 

độ dài đoạn thẳng 

.

AD

 

Câu 10. 

Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác nhau từ số 1 đến số 2022. Lần thứ nhất xóa đi hai số bất kỳ và viết 

tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn 2021 số. Lần thứ nhất xóa đi hai số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy. Hỏi đến lần thứ 2021, trên bảng còn lại số nào? 

II – PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm, thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

 

Câu 11. (3 điểm) 

Giải phương trình nghiệm nguyên 

4

3

2

2

2

6

4

32

4

39

0.

x

x

x

y

x

y















 

Câu 12. (5 điểm) 

Cho đường tròn 

 

O

 

đường kính 

BC

 và điểm 

A

 di động trên đường tròn 

 

O

 sao cho 

,

A

B



.

A

C



 Gọi 

H

 là chân đường cao kẻ từ đỉnh 

A

 của tam giác 

.

ABC

 Lấy 

D

 là trung điểm đoạn 

.

HC

 Kẻ đường 

thẳng đi qua 

H

 vuông góc với đường thẳng 

AD

 cắt đường thẳng 

AB

 tại điểm 

.

E

 

a) Chứng minh rằng 

.

HD HE

AD AH







 

b) Chứng minh rằng 

B

 là trung điểm 

.

AE

 Tìm quỹ tích điểm 

.

E

 

Câu 13. (2 điểm) 

Cho 

,

a b

 là các số thực dương thỏa mãn 

3.

ab

a

b

  

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

2

2

1

.

1

1

3

2

a

b

a

b

P

b

a

a

b















 

 

-------------HẾT------------- 

ĐỀ THI CHÍNH THỨC