Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9, Sở GD Cần Thơ năm học 2012-2013

06a7b0165b80d9d825296dc9685a4cee
Gửi bởi: Thành Đạt 2 tháng 9 2020 lúc 2:42:21 | Được cập nhật: 20 giờ trước (1:35:10) Kiểu file: PDF | Lượt xem: 375 | Lượt Download: 2 | File size: 0.277522 Mb

Nội dung tài liệu

Tải xuống
Link tài liệu:
Tải xuống

Các tài liệu liên quan


Có thể bạn quan tâm


Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề chính thức MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (5,0 điểm) √ √ 2m + 16m + 6 m−2 3 √ 1. Cho biểu thức P = +√ +√ −2 m+2 m−3 m−1 m+3 a) Rút gọn P . b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. p p √ √ 3 3 2013 2. Tính giá trị (a3 + 15a − 25) với a = 13 − 7 6 + 13 + 7 6. Câu 2 (5,0 điểm) 1. Giải phương trình: √  √ √ x + 5 + 3 − x − 2 15 − 2x − x2 + 1 = 0. 2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 2x + mx − 1 = 0 mx2 − x + 2 = 0 Câu 3 (5,0 điểm) 1 1 1 1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa + + = 2. x y z  x+y ≤2 2. Cho hai số x, y thỏa mãn: x2 + y 2 + xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x2 + y 2 − xy. Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để M A + 2M B đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A. 1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống P B, P C. Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định. 2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) sao cho diện tích của tam giác ABC luôn bằng a2 . —–HẾT—– Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề chính thức MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này có 03 trang.) CÂU NỘI DUNG 1. (3,5 điểm) a) Điều kiện: m ≥ 0, m 6= 1 √ m+1 P =√ m−1 2 b) P = 1 + √ m−1 1(5,0đ) Để P ∈ N =⇒ m ∈ {4; 9} 2.(1,5 điểm) p p √ √ 3 3 a = 13 − 7 6 + 13 + 7 6 =⇒ a3 = 26 − 15a 2013 a3 + 15a − 25 = 1 =⇒ (a3 + 15a − 25) 1. (2,5 điểm) =1 Điều kiện: −5 ≤ x ≤ 3 √ √ √ √ Đặt t = x + 5 + 3 − x, t2 = 8 + 2 15 − 2x − x2 =⇒ t ≥ 2 2  t=3 2 Phương trình đã cho có dạng: t − t − 6 = 0 ⇐⇒ t = −2 (loại) √ √ t = 3 ⇐⇒ x + 5 + 3 − x  =3 √ −2 + 3 7 2(5,0đ)  x= 2 √ ⇐⇒ 4x2 + 8x − 59 = 0 ⇐⇒  −2 − 3 7 x= 2 2. (2,5 điểm)  mx + 2y = 1 2 Đặt x = y ≥ 0. Hệ trở thành: −x + my = −2  m+4    x= 2 m +2 Hệ luôn có nghiệm:  1 − 2m 1   y= ≥ 0 (m ≤ ) 2 m +2 2  2 m + 4 1 − 2m Ta có: x2 = y ⇐⇒ = 2 m2 + 2 m +2 ⇐⇒ (m + 1) (m2 − m + 7) = 0 ⇐⇒ m = −1 3(5,0đ) 1. (3,0 điểm) ĐIỂM 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ Tiếp CÂU NỘI DUNG Không mất tính tổng quát giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z 3 1 1 1 =⇒ 2 = + + ≤ =⇒ x = 1 x y z x 1 1 2 y = 1 (vô lý) =⇒ + = 1 ≤ =⇒ y = 2 =⇒ z = 2 y z y Vậy (1; 2; 2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho 2. (2,0 điểm) ( ( x+y ≤2 x + y = 2 − a (a ≥ 0) Hệ ⇐⇒ x2 + y 2 + xy = 3 x2 + y 2 + xy = 3 ( x+y =2−a Do đó: , ∆ = S 2 − 4P ≥ 0 =⇒ 0 ≤ a ≤ 4 2 xy = (2 − a) − 3 ĐIỂM 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ T = x2 + y 2 + xy − 2xy = 9 − 2(2 − a)2 0,5đ min T = 1 khi x = 1, −1 √ y = 1 hoặc √ x = −1, y =√ √ max T = 9 khi x = 3, y = − 3 hoặc x = − 3, y = 3 0,5đ B M0 M C O A 4(2,0đ) Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC = R , ta có điểm C cố định 2 Dễ thấy ∆OCM đồng dạng ∆OM A =⇒ M A = 2M C Ta có M A + M B ≥ BC (không đổi) M A + 2M B = 2(M B + M C) ≥ 2BC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì M A+2M B đạt giá trị nhỏ nhất 5(3,0đ) 1. (2,0 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tiếp CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A D E O C M I B N A0 P \ [ = 90◦ nên tứ giác Kẻ AI ⊥ BC, I ∈ BC cố định. Ta có BM A = BIA [ = ABM \ AM BI nội tiếp hay AIM \ = ACP [ Ta lại có tứ giác ABP C nội tiếp nên ABM [ = ACP [ (1) Do đó AIM [ = AN \ Mặt khác AIC C = 90◦ nên tứ giác AIN C nội tiếp, suy ra [ + AIN [ = 180◦ (2) ACP [ + AIN [ = 180◦ Từ (1) và (2) suy ra AIM Vậy đường thẳng M N luôn đi qua điểm cố định I 2. (1,0 điểm) 1,0đ \ = ACB [ Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra AED 0 Kéo dài AO cắt (O; R) tại điểm A . Ta có: [ + AED \ = BAA \0 + ACB [ = 90◦ EAO 1 1 =⇒ AO ⊥ DE =⇒ SAEOD = AO.DE = R.DE 2 2 1 1 Tương tự ta cũng có: SBEOI = R.EI, SCDOI = R.ID 2 2 1 Vậy: SABC = SAEOD + SBIOE + SCDOI = R.(DE + EI + ID) 2 2SABC 2a2 =⇒ DE + EI + ID = = (không đổi) R R 0,5đ —–HẾT—– Ghi chú: • Mọi cách giải đúng khác đáp án đều cho điểm tối đa. 0,5đ 0,5đ 0,5đ