Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9, Sở GD Cần Thơ năm học 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề chính thức MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (5,0 điểm) √ √ 2m + 16m + 6 m−2 3 √ 1. Cho biểu thức P = +√ +√ −2 m+2 m−3 m−1 m+3 a) Rút gọn P . b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. p p √ √ 3 3 2013 2. Tính giá trị (a3 + 15a − 25) với a = 13 − 7 6 + 13 + 7 6. Câu 2 (5,0 điểm) 1. Giải phương trình: √
√ √ x + 5 + 3 − x − 2 15 − 2x − x2 + 1 = 0. 2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:  2 2x + mx − 1 = 0 mx2 − x + 2 = 0 Câu 3 (5,0 điểm) 1 1 1 1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa + + = 2. x y z  x+y ≤2 2. Cho hai số x, y thỏa mãn: x2 + y 2 + xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x2 + y 2 − xy. Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để M A + 2M B đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A. 1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống P B, P C. Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định. 2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) sao cho diện tích của tam giác ABC luôn bằng a2 . —–HẾT—– Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 Đề chính thức MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này có 03 trang.) CÂU NỘI DUNG 1. (3,5 điểm) a) Điều kiện: m ≥ 0, m 6= 1 √ m+1 P =√ m−1 2 b) P = 1 + √ m−1 1(5,0đ) Để P ∈ N =⇒ m ∈ {4; 9} 2.(1,5 điểm) p p √ √ 3 3 a = 13 − 7 6 + 13 + 7 6 =⇒ a3 = 26 − 15a 2013 a3 + 15a − 25 = 1 =⇒ (a3 + 15a − 25) 1. (2,5 điểm) =1 Điều kiện: −5 ≤ x ≤ 3 √ √ √ √ Đặt t = x + 5 + 3 − x, t2 = 8 + 2 15 − 2x − x2 =⇒ t ≥ 2 2  t=3 2 Phương trình đã cho có dạng: t − t − 6 = 0 ⇐⇒ t = −2 (loại) √ √ t = 3 ⇐⇒ x + 5 + 3 − x  =3 √ −2 + 3 7 2(5,0đ)  x= 2 √ ⇐⇒ 4x2 + 8x − 59 = 0 ⇐⇒  −2 − 3 7 x= 2 2. (2,5 điểm)  mx + 2y = 1 2 Đặt x = y ≥ 0. Hệ trở thành: −x + my = −2  m+4    x= 2 m +2 Hệ luôn có nghiệm:  1 − 2m 1   y= ≥ 0 (m ≤ ) 2 m +2 2  2 m + 4 1 − 2m Ta có: x2 = y ⇐⇒ = 2 m2 + 2 m +2 ⇐⇒ (m + 1) (m2 − m + 7) = 0 ⇐⇒ m = −1 3(5,0đ) 1. (3,0 điểm) ĐIỂM 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ Tiếp CÂU NỘI DUNG Không mất tính tổng quát giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z 3 1 1 1 =⇒ 2 = + + ≤ =⇒ x = 1 x y z x 1 1 2 y = 1 (vô lý) =⇒ + = 1 ≤ =⇒ y = 2 =⇒ z = 2 y z y Vậy (1; 2; 2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho 2. (2,0 điểm) ( ( x+y ≤2 x + y = 2 − a (a ≥ 0) Hệ ⇐⇒ x2 + y 2 + xy = 3 x2 + y 2 + xy = 3 ( x+y =2−a Do đó: , ∆ = S 2 − 4P ≥ 0 =⇒ 0 ≤ a ≤ 4 2 xy = (2 − a) − 3 ĐIỂM 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ T = x2 + y 2 + xy − 2xy = 9 − 2(2 − a)2 0,5đ min T = 1 khi x = 1, −1 √ y = 1 hoặc √ x = −1, y =√ √ max T = 9 khi x = 3, y = − 3 hoặc x = − 3, y = 3 0,5đ B M0 M C O A 4(2,0đ) Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC = R , ta có điểm C cố định 2 Dễ thấy ∆OCM đồng dạng ∆OM A =⇒ M A = 2M C Ta có M A + M B ≥ BC (không đổi) M A + 2M B = 2(M B + M C) ≥ 2BC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì M A+2M B đạt giá trị nhỏ nhất 5(3,0đ) 1. (2,0 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Tiếp CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A D E O C M I B N A0 P \ [ = 90◦ nên tứ giác Kẻ AI ⊥ BC, I ∈ BC cố định. Ta có BM A = BIA [ = ABM \ AM BI nội tiếp hay AIM \ = ACP [ Ta lại có tứ giác ABP C nội tiếp nên ABM [ = ACP [ (1) Do đó AIM [ = AN \ Mặt khác AIC C = 90◦ nên tứ giác AIN C nội tiếp, suy ra [ + AIN [ = 180◦ (2) ACP [ + AIN [ = 180◦ Từ (1) và (2) suy ra AIM Vậy đường thẳng M N luôn đi qua điểm cố định I 2. (1,0 điểm) 1,0đ \ = ACB [ Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra AED 0 Kéo dài AO cắt (O; R) tại điểm A . Ta có: [ + AED \ = BAA \0 + ACB [ = 90◦ EAO 1 1 =⇒ AO ⊥ DE =⇒ SAEOD = AO.DE = R.DE 2 2 1 1 Tương tự ta cũng có: SBEOI = R.EI, SCDOI = R.ID 2 2 1 Vậy: SABC = SAEOD + SBIOE + SCDOI = R.(DE + EI + ID) 2 2SABC 2a2 =⇒ DE + EI + ID = = (không đổi) R R 0,5đ —–HẾT—– Ghi chú: • Mọi cách giải đúng khác đáp án đều cho điểm tối đa. 0,5đ 0,5đ 0,5đ