Đề khảo sát năng khiếu Toán 10 năm 2018 trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2018-2019 Môn: Toán. Ngày thi 22/10/2018 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề gồm có 5 câu, 1 trang) Câu 1. ( 1,5 điểm) Tìm hàm số 𝑓: 𝑅 → 𝑅 sao cho 𝑓(0) = 1; 𝑓(𝑥𝑦 + 1) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑦) − 𝑥 + 2 ∀𝑥, 𝑦 Câu 2. ( 2,5 điểm) a) Xác định dạng của tam giác ABC nếu biết 𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵 − 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴 − 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 b) Cho tam giác ABC có 𝐴 = 30°, trung tuyến BB’ vuông góc với trung tuyến CC’. Tính cotB+cotC. Câu 3. ( 1,5 điểm ) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau mà tổng 3 chữ số cuối nhỏ hơn tổng 3 chữ số đầu 3 đơn vị. Câu 4. ( 3,0 điểm) a) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. M là trung điểm AB. Trên đường 3 4 chéo AC lấy N sao cho AN  AC . Chứng minh DN  MN. b) Cho điểm M nằm trong ABC . Gọi ta, tb, tc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ M của các tam giác MBC, MCA, MAB. Ra , Rb, Rc lần lượt là độ dài các đoạn MA,MB,MC. Chứng minh rằng: Ra  Rb  Rc  2 3. ta2  tb2  tc2 Câu 5. ( 1,5 điểm ) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   a 2  ab  b2  b2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  ……………………..Hết………………………