Gọi I (a; b; c) ⇒ IM→=(x0 - a ; y0 - b ; z0 - c)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(A;B;C)
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M
Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k
⇒ I; R
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM=1
Hướng dẫn:
Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0)
Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5
⇒ M (1; -5;0)
Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu
⇒ IM→=(1-a; -5-b; -c)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n→=(2;1;-1)
Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM→ vuông góc với mặt phẳng (Q)
⇒ IM→= k n→
Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)
⇒ a-2b+c-1=0
⇔ 1-2k+2(5+k)+k-1=0
⇔ k=-10
Với k=-10 thì I (21; 5; -10)
Bán kính của mặt cầu là R=|IM→ |=|k n→ |
= 10√6
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A (1; -1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q)
Hướng dẫn:
Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu
⇒ IA→=(1-a; -1-b; 1-c)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(2;3;-1)
Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại điểm A nên IA→ vuông góc với mặt phẳng (P)
⇒ IA→= k n→
Lại có I thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có:
2a-b-c+2=0
⇔ 2(1-2k)+(1+3k)-1-k+2=0
⇔ k=2
Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)
Bán kính mặt cầu: R=|IA→ |=|k n→ |
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2=56
Bài 3: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.
Hướng dẫn:
Gọi H (a; b; c).
⇒ AH→=(a-2;b-5;c-1)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(6;3;-2)
Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) nên AH→ vuông góc với mặt phẳng (P).
⇒ AH→ =k n→
Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0
⇔ 6(6k+2)+3(3k+5)-2(-2k+1)+24=0
⇔ k=-1
⇒ H(-4;2;3)
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Mặt cầu (S) có diện tích là 784π
⇒ 4πR2 =784π ⇒ R=14
Gọi I (m, n, p) là tâm mặt cầu
⇒ IH→=(-4-m;2-n;3-p)
Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên ta có
Xét (*): |t n→ |=R
=14 ⇔ |t|=2 ⇔ t= ±2
Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)
Khi đó:
IA
=21>R
⇒ A nằm ngoài mặt cầu.
Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)
Khi đó
IA
= 7<R
⇒ A nằm trong mặt cầu.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2=196
Bài 4: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(- 2;0;1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1)
Hướng dẫn:
Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu.
⇒ IM→=(-2-a; -b;1-c)
Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n→=(0 ;1 ;0)
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại M nên
Giải (1) :
IM→= k n→
Do mặt cầu đi qua A(2; 2;1) nên IA = R
Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k +20
Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2
⇒ k=-5
Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5
Phương trình mặt cầu cần tìm là :
(x+2)2 +(y-5)2 +(z-1)2=25
Được cập nhật: hôm kia lúc 22:18:09 | Lượt xem: 788
