Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10

xHì nh 01 KH ME CBACÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO 10 Ớ( Dành ng cho các em sinh đang chu ôn thi vào 10 khôngặ ớchuyên )Bài Cho hình thang cân ABCD (AB CD, AB // CD) ti trong ng trònộ ườ(O). các ti tuy ng tròn (O) và chúng nhau E. làẻ ườ ọgiao đi hai ng chéo AC và BD.ể ườ1. Ch ng minh giác AEDM ti trong ng tròn.ứ ượ ườ2. Ch ng minh AB // EM.ứ3. ng th ng EM nh bên AD và BC hình thang và K. ườ ượ ởCh ng minh là trung đi HK.ứ ể4. Ch ng minh ứBÀI GI CHI TI TẢ (hình01)1. Ch ng minh giác AEDM ti p.ứ ếTa có sđ (góc tia ti pạ ếtuy AEếvà dây AC ng tròn (O))ủ ườT ng sđ (Dx là tia aươ ủtia ti tuy DE)ế ếMà AC BD (do ABCD là hìnhthang cân) nên Do đó .V giác AEDM ti trong ng tròn.ậ ượ ườ2. Ch ng minh AB // EM.ứT giác AEDM ti nênứ ế(cùng ch cung ED)ắ Mà (góc tia ti tuy và dây cung góc ti pạ ếcùng ch cung AD)ắ .Suy ra: Do đó EM // AB.3. Ch ng minh là trung đi HK.ứ ểcó HM // AB có MK // AB .Mà (đ nh lí Ta let cho hình thangịABCD) Nên Do đó MH MK. là trung đi HK.ậ ể4. Ch ng minh .ứ2 1HK AB CD= +·12EAC=» AC·12xDB=»DB»»AC BD=··EAC xDB=··EAD EMD=··EAD ABD =··EMD ABD=DABDHM DHAB DAÞ =CABDMK CKAB CBÞ =DH CKDA CB=HM MKAB AB=2 1HK AB CD= +/ /=OMH KDCBAÁp ng qu nh lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta c: ượ (1) Áp ng qu nh lí Taụ ịlet cho tam giác BCD có KM // CD tađ c: (2)ượ ng (1) và (2)ộv theo ta c: ượ .Suy ra: mà MH MK nên 2HM 2KM HK Do đó: Suy ra: (đpcm) bànờ 1. Do AC BD nên ch ngể ứminh giác AEDM ti ta ng ph ng pháp: giác có góc ngoài iụ ươ ạm nh ng góc nhộ nh đó thì giác đó ti p. cách suy nghĩủ ớtrên ch tia Dx là tiaỉ tia ti tuy DE thì bài toán gi quy dố ượ ễdàng. Có th ch ng minhể giác AEDM ti ng cách ch ng minh khác cứ ượkhông? (ph này dànhầ cho các em suy nghĩ nhé)2. Câu có còn cách ch ng minh nào khác không? Có y. Th ch ng minh tamứ ứgiác AHM và tam giác BKM ng nhau đó suy ra đpcmằ .3. Câu là bài toán quen thu ph không các em? Do đó khi toán cácộ ọem chú các bài quen thu nhé.ầ Tuy câu này còn cách gi aậ ữđó. Em th nghĩ xem?ửBài Cho ng tròn (O) ng kính AB= 2R, dây cung AC. là đi mử ườ ườ ểchính gi cung AC. ng th ng song song BM tia AM và tiaữ ườ ắOM D. OD AC H.ở ạ1. Ch ng minh giác CKMH ti p.ứ ế2. Ch ng minh CD MB và DM CB.ứ3. Xác nh trí đi trên ng tròn (O) AD là ti tuy aị ườ ửđ ng tròn.ườ4. Trong tr ng AD là ti tuy ng tròn (O), tính di tíchườ ườ ệph tam giác ADC ngoài ng tròn (O) theo R.ầ ườBÀI GI CHI TI TẢ Ế1. Ch ng minh giác CKMH ti p.ứ ế(góc ti ch ngộ ườtròn ng kính AB) ườ Mà CD // BM (gt) nên AM CD .ậ(gt) .T giác CKMH có nên iứ ộti ượHM DMAB DB=KM BMCD BD=1HM KM DM BM DM BM BDAB CD DB BD BD BD++ =2 22HM KMAB CD+ =2HK HKAB CD+ =2 1HK AB CD= +¼¼ADC BCDÞ =·090AMB=AM MBÞ ^·090MKC=¼¼AM CM=OM ACÞ ^·090MHCÞ =··0180MKC MHC+ =/ /=OMHKDCBAtrong ng tròn.ộ ườ2. Ch ng minh CD MB và DM CB.ứTa có: (góc ti ch aộ ửđ ng tròn)ườ Hình 2Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên giác CDMB là hình bình hành. Suy ra:ứCD MB và DM CB. 3. Xác nh trí đi trên ng tròn (O) AD là ti tuy aị ườ ửđ ng tròn.ườAD là ti tuy ngế ườtròn (O) có AK CD và DH AC nên là tr tâm tam giác Suy ra: CM ADự CM // AB .ậMà nên 60 0.4. Tính di tích ph tam giác ADC ngoài (O) theo R:ệ ởG là di tích ph tam giác ADC ngoài ởđ ng tròn (O).ườ S1 là di tích giác AOCD.ệ S2 là di tích hình qu góc tâm AOC.ệ Ta có: S1 S2 hình Tính S1 AD là ti tuy aế ủđ ng tròn (O) .ườDo đó: AD AO. tg 60 0= SADO .(c.g.c) SAOD SCOD SAOCD 2SADO 2. Tính S2 qu AOCạ Tính S: S1 S2 =(đvdt) .L bànờ 1. Rõ ràng câu 1, hình cho taẽ cách ch ng minh các góc và là nh ngứ ữgóc vuông, và có góc vuông ta ch ch ra MB AM và CD// MBể ượ đóềsuy ra qu góc ti và gi thi CD // MB. Góc vuông ếđ suy qu bài 14 trang 72 SGK toán 2. Các em cácượ ưbài này ng vào vi gi các bài khác nhé.ậ ượ ậ2. Không ph bàn, lu li cách ch ng minh ph không các em?ầ ả·090ACB=AD ABÛ ^ADCD ^^^AD AB^Û¼»AM BCÛ =¼¼AM MC=¼»¼¼»AM BC AM MC BC= =*Û¼¼»060AM MC BC= =·060AODÞ =3R Þ21 3. 3.2 2RAD AO R= =AOD CODD =DÞÞ232R 23R*»0120AC=Þ2 00.120360Rp 23 Rp*23R 23 Rp2 23 33R Rp-()23 33Rp-^N yxOK FE MBA3. Rõ ràng đây là câu khó em, khi hi khôngỏ ẫbi gi nh th nào có nhi em may ng nhiên đúng vào hìnhế ơ3 trên đó nghĩ ngay trí đi trên ng tròn. Khi lo toán nàyở ượ ườ ạđòi ph duy cao n. Thông th ng nghĩ có qu bài toán thì sỏ ườ ẽx ra đi gì các gi thi và các qu các câu trên ta tìm cả ượl gi bài toán. bài trên phát hi là tr tâm tam giác không ph iờ ảlà khó, tuy nhiên bài 13 trang 72 sáchầ oán 9T2 và gi thi làả ếđi chính gi cung AC ta tìm trí ngay.ể ượ ủV cách trình bày nh đớ ướ ề“khi và ch khi” suy lu cho ta gi ch ch n. Em có th vi tỉ ếl gi cách khác ng cách ra nh nh tr ch ng minh nh nh đóờ ướ ịthì có qu tuy nhiên ph trình bày ph o: Đi trên ng trònế ườmà thì AD là ti tuy n. Ch ng minh nh nh đó xong ta trình bày ph o: ADế ảlà ti tuy thì đó lu nế .4. Phát hi di tích ph tam giác ADC ngoài ng tròn (O) chính là hi uệ ườ ệc di tích giác AOCD và di tích hình qu AOC thì bài toán tính so iủ ớcách tính tam giác ADC tr cho di tích viên phân cung AC.ừ ệBài Cho ng tròn (O) ng kính AB a. Ax, By là các tia vuôngử ườ ườ ọgóc AB Ax, By thu cùng ph ng AB). Qua đi thu aớ ửđ ng tròn (O) (M khác và B) ti tuy ng tròn (O); nó Ax,ườ ườ Byl và F.ầ ượ ở1. Ch ng minh: ứ2. Ch ng minhứ giác AEMO ti p; hai tam giác MAB và OEF ng ng.ứ ạ3. là giao đi AF vàọ ủBE, ch ng minh ứ4. Khi MB .MA, tính di tích tamệ giác KAB theo a. BÀI GI CHI TI Ế1. Ch ng minh: .EA, EM là hai ti tuy ng tròn (O)ế ườc nhau Eắ nên OE là phân giác .ủT ng OF là phân giác ươ .Mà và bù nên: (đpcm)ềhình 42. Ch ng minh: giác AEMO ti p; hai tam giác MAB và OEF ng ng.ứ ạ»060BC=»060BC=·0EOF 90= MK AB ^3·0EOF 90=·AOM·BOM·AOM·BOM·090EOF=Ta có: (tính ch ti tuy n)ấ ếT giác AEMO có nên iứ ộti trong ng tròn.ế ượ ườ Tam giác AMB và tam giácEOF có:, (cùng cung MO ng tròn ngo ti giácắ ườ AEMO. Tamậgiác AMB và tam giác EOF ng ng (g.g)ồ .3. là giao đi AF vàọ ủBE, ch ng minh .ứTam giác AEK có AE // FB nên: .Mà AE ME và BF MF (t/ch haiấti tuy nhau)ế Nên Do đó MK // AE (đ nh lí nh lí Ta- let)ị có: AEạAB (gt) nên MK AB.4. Khi MB .MA, tính di tích tamệ giác KAB theo là giao đi MK và AB,ọ suy ra MN AB. FEA có MK//AE nên (1) BEAcó NK//AE nên (2) .Mà (do BF // AE) nên hay(3) .T (1), (2)ừ và (3) suy ra yậMK NK.Tam giác AKB và tam giácAMB có chung đáy AB nên: .Do đó. Tam giác AMB vuông nênởtg AM và MB =ậ(đvdt) .L bànờ Đây là thi tuy sinh vào 10 năm 2009-2010 nh Hà Namề câu câu trong quá trình ôn thi vào 10 ch ch th cô nào cũngừ ầôn p, do đó nh ng em nào ôn thi nghiêm túc ch ch gi ngay, kh ph iậ ượ ảbàn, nh ng em thi năm qua nh Hà Nam xem nh trúng tữ ài toán này có nhi câuềkhó, và đây là câu khó mà ng ra khai thác câu: MK AB N. Ch ngộ ườ ứminh: là trung đi MN. ể··090EAO EMO= =··0180EAO EMO+ ···0EOF 90AMB= =··MAB MEO=MK AB ^AK AEKF BF=AK MEKF MF=^^3^DMK FKAE FA=DNK BKAE BE=FK BKKA KE=FK BKKA FK BK KE=+ +FK BKFA BE=MK KNAE AE=12AKBAMBS KNS MN= =12AKB AMBS S=3MBMA=·060MABÞ =2a32a Þ1 3. .2 2AKBa aSÞ =21316axHQINMO CBAK xHQINMO CBAN chú MK là ng th ngế ườ ch ng cao tam giác AMB do câu vàứ ườ ủtam giác AKB và AMB có chung đáy AB thì các em nghĩ ngay nh lí: haiẽ ếtam giác có chung đáy thì di tích hai tam giác ng hai ng cao ngỉ ườ ương, bài toán qui tính di tích tam giác AMB không ph là khó ph không cácứ ảem?Bài Cho ng tròn tâm ng kính AB. đi trên ti tuy Axử ườ ườ ếc ng tròn ti tuy th hai MC (C là ti đi m). CH vuông góc iủ ườ ớAB, ng th ng MB ng tròn (O) và CH N. giao ườ ườ mểc MO và AC là I. Ch ng minh ng:ủ ằa) giác AMQI ti p.ứ b) .c) CN NH.(Trích thi tuy sinh vào 10 năm 2009-2010 GD&ĐT nh cề ắNinh)BÀI GI CHI TI TẢ Ếa) Ch ng minh giác AMQI ti p:ứ ếTa có: MA MC (tính ch hai tuy nhau)ấ ắOA OC (bán kính ng tròn (O))ườDo đó: MO AC .(góc ti ch ngộ ườtròn (O)). Hai nh và cùng nhìn AMỉd iướ Hình 5m góc vuông nên giác AMQI ti cộ ượtrong ng tròn. ườb) Ch ng minh:.ứT giác AMQI ti nênứ ếHình (cùng ph )ụ (2) có OA nên cân Oở (3) .T (1), (2)ừ và (3) suy ra .c) Ch ng minh CN NH.ứG là giao đi BC vàọ ủtia Ax. Ta có: (góc ti ch ng tròn(O))ộ ườ AC BK AC OM OM // BK.Tam giác ABK có: OA OB, OM // BK MA MK. ··AQI ACO= ^·090MIAÞ =·090AQB=·090MQAÞ =··AQI ACO=··AQI AMI=·MACAOCD··CAO ACOÞ =··AQI ACO=·090ACB=^^ÞÞ//=xFEOD CBAÁp ng qu nh lí Ta let choụ có NH // AM (cùng AB) ta c: ượ(4) Áp ng qu nh lí Taụ ịlet cho có CN // KM (cùng AB) tađ c:ượ (5) (4) và (5) suy ra: Mà KM AM nên CN NH (đpcm) .L bànờ 1. Câu hình cho ta suy nghĩ: ch ng minh hai nh và cùng nhìnẽ ỉAM góc vuông. Góc AQM vuông có ngay do bù ACB vuông,ướ góc MIAvuông suy tính ch hai ti tuy nhau.ượ ắ2. Câu suy câu 1, dượ ễdàng th ngay là ch ra đi này không khó ph không các em?ấ ả3. Do CH // MA mà toán yêu ch ng minh CN NH ta nghĩ ngay vi ệkéo dài BC Ax bài toán tr bài toán quen thu c: Cho tam giác ABC,ắ ộM là trung đi BC. ng th ng // BC AB, AC và AM E,ể ườ ượ vàI. Ch ng minh IE ID.ứ Nh các bài toán có liên quan ph bài thi taớ ượ ủqui bài toán đóề thì gi quy thi cách dàng.ả ễBài Cho ng tròn tâm ng kính AB có bán kính R, ti tuy Ax. Trênườ ườ ếti tuy Ax đi sao cho BF ng tròn C, tia phân giác góc ABFế ườ ủc Ax và ng tròn D.ắ ườ ạa) Ch ng minh OD // BC.ứb) Ch ng minh th c: BD.BE BC.BFứ ức) Ch ng minh giác CDEF ti p.ứ ếd) Xác nh đo góc ABC giác AOCD là hình thoi. Tính di nị tích hìnhthoi AOCD theo R.BÀI GI CHI TI TẢ Ếa) Ch ng minh OD // BC.ứ ình 7cân (vì OD OB R) ởMà (gt) nên Do đó: OD // BC.b) Ch ng minh th c: BD.BE BC.BF.ứ ứ(góc ti ch ngộ ườtròn (O) .(góc ti ch ngộ ườtròn (O) vuông (do Ax là ti tuy ),ở có AD BE nên:AB BD.BE (1) .ABMD ^NH BNAM BM=BKMD^CN BNKM BM=NH CNAM KM=··AQI AMI=··ACO CAO=·IMA =·CAOBODD··OBD ODBÞ =··OBD CBD =··ODB CBD =·090ADB=AD BEÞ ^·090ACB=AC BFÞ ^EABD^····CDB CABCAB CFAì=ïí=ïîxFEDCBOA vuông (do Ax là ti tuy n),ở có AC BF nên AB BC.BF (2) .T (1) và (2) suy ra: BD.BE BC.BFừ .c) Ch ng minh giác CDEF ti p:ứ ếTa có: (hai góc ti cùng ch cung BC)ộ cùng phụ) Do đó giác CDEF ti p.ứ ếCách khácvà có: chung và (suy BD.BEừ= BC.BF) nên chúng ng ngồ ạ(c.g.c) Suy ra: giác CDEF là giác ti p.ậ ếd) Xác nh đo góc ABC giác AOCD là hình thoi:ị ứTa có: (do BD là phân giác .T giác AOCD là hình thoi OA ADứ DC OCAD DC thì giác AOCD là hìnhậ ứthoi.Tính di tích hình thoi AOCD theo R:ệ.Sthoi AOCD (đvdt) .H ình 8L bànờ1. câu 1, gt BD là phân giácớ góc ABC tam giác cân taế ớnghĩ ngay ch ng minh hai góc so le trong và ng nhau.ế ằ2. Vi chú các góc ti ch ng tròn tam giácệ ườ ớAEB, FAB vuông do Ax là ti tuy ngay th ng trong tam giácế ượvuông quen thu c.ộ Tuy nhiên có th ch ng minh hai tam giác BDC và BFEẫ ngồd ng tr suy ra BD.BE BC.BF. cách th hi này có vi cạ ướ là gi iơ ảluôn câu 3. Các em th th hi xem sao?ượ ệ3. Khi gi câu thì câu có th ng câu ho có th ch ng minhả ượ ứnh bài gi i.ư ảFABD ^·FAC··CDB CFAÞ =DDBCDFBEDµBBD BCBF BE=··EFBCDB=··ABD CBD =·ABC»»AD CDÞ =ÛÛ»»060AD DCÛ =»0120ACÛ =·060ABCÛ =·060ABC=»0120 3AC AC R= =21 3. 32 2ROD AC R= =·ODB·OBDHN FECB A4. Câu yêu uớ ầxác nh đo góc ABC giác AOCD tr thành hình thoi không ph là khó.ị ảT vi suy lu AD CD nghĩ ngay nừ cung AC ng 120ằ đó suy ra đoừ ốgóc ABC ng 60ằ 0. Tính di tích hình thoi ch nh công th c, nh các ki th cệ ứđ bi màặ trong quá trình ôn th cô giáo sung nh ,........ậ các em tính cẽ ượd dàng.ễBài Cho tam giác ABC có ba góc nh n. ng tròn ng kính BC nhọ ườ ườ ạAB, AC và BF EC H. Tia AH ng th ng BC N.ầ ượ ườ ạa) Ch ng minh giác HFCN ti p.ứ ếb) Ch ng minh FB là phân giác aứ c) Gi AH BC Tính đoả góc ABC. BÀI GI CHI TI TẢ a) Ch ng minh giác HFCN ti pứ :Ta có (góc ti ch ng tròn ng kính BC)ộ ườ ườT giác HFCN có nên iứ ộti trong ượđ ng tròn ng kính HC) (đpcm)ườ ườ .b) Ch ng minh FB là tia phân giác góc EFNứ Ta có (hai góc ti cùngộ ếch ng tròn ng kính BC)ắ ườ ườ .(hai góc ti cùng ch aộ ủđ ng tròn ng kính HC)ườ ườ .Suy ra: FB là tia phân giácậc góc EFN (đpcm)ủc) Gi AH BC. Tính đo góc BAC tam giác ABCả :FAH và FBC có: AH BC(gt) (cùng ph )ụ FAH FBC (c nh huy n- góc nh n). Suy ra: FA FB.ậ ọAFB vuông F; FA FB nênạvuông cân. Do đó .Bài (Các em gi i)ự ảCho tam giác ABC nh n, các ng cao BD và CE cát nhau H.ọ ườ a) Ch ng minh giác BCDE ti p.ứ ế»0120 3AC AC R= =· EFN·BAC··090BFC BEC= =··0180HFC HNC+ =··EFBECB=»BE··ECB BFN =¼HN··EFBBFN=DD··0AFH 90BFC= =··FAH FBC=·ACB DDD·045BAC==//O FECDBAb) Ch ng minh AD. AC AE. AB.ức) là tâm ng tròn ngo iọ ườ ti tam giác ABC. Ch ng minh OA DE.ế ứd) Cho bi OA Tính BH.ếBD CH. CE theo .Bài Cho ng tròn (O) ng kính AB. Trên tia AB đi ngoàiườ ườ ằđo AB và ti tuy DC ng tròn (O) (C là ti đi m). là chânạ ườ ọđ ng vuông góc xu ng ng th ng CD và là chân ng vuông góc tườ ườ ườ ừD xu ng ng th ng AC. ườ ẳCh ng minh: ứa) giác EFDA ti p.ứ ếb) AF là phân giác .ủc) Tam giác EFA và tam giác BDC ng ng.ồ ạd) Các tam giác ACD và ABF có cùng di tích.ệ(Trích thi nghi và xét tuy vào 10- năm 2000- 2001) BÀI GI IẢa) Ch ng minh giác EFDA ti pứ :Ta có: (gt) Hai nh và Fỉcùng nhìn AD góc 90ướ nên giác EFDA ti trong ng tròn.ứ ượ ườb) Ch ng minh AF là phân giác aứ góc EAD :Ta có: so le trong)ậTam giác AOC cân (vìởOA OC R) nên Do đó: AF là phân giác góc EAD (đpcm)ậ .c) Ch ng minh tam giác EFA và tamứ giác BDC ng ngồ :EFA và BDC có: (hai góc ti cùng ch nộ ắc ng tròn ngo ti giác EFDA)ủ ườ .. EFA và BDCậđ ng ng (góc- góc)ồ .d) Ch ng minh các tam giác ACD và ABF có cùng di tíchứ :SACD và SABF (1) ^·060BAC=·EAD··0AFD 90AED= =//AE CDAE OCOC CD^ìÞí^î··EAC CAD =··CAO OCA=··EAC CAD =DD··EFACDB=»AE······EAC CABEAF BCDCAB DCBì=ïÞ =í=ïîDD1.2DF AC1.AF2BC