Bộ đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán năm học 2017 - 2018

UBND QUẬN LÊ CHÂN TRƯỜNG THCS VÕ THỊ SÁU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2017 - 2018 BÀI THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 02 trang. Thí sinh làm bài vào tờ giấy thi. ĐỀ THI THỬ LẦN 1 Bài 1 (1,5 điểm): Cho hai biểu thức: 3 x 2  2x  1 . A  3 8  50  2  1 và B  với 0 < x < 1. x 1 9x 2 a/ Rút gọn biểu thức A và B. 2 . b/ Tìm các giá trị của x để B = x   2 Bài 2 (1,5 điểm): a/ Tìm m để đồ thị hàm số y = (m2 – 4)x + 2m – 7 song song với đường thẳng y = 5x – 1.  2ax  by  7 .Tìm a và b biết hệ phương trình có nghiệm ax  by  1 b/ Cho hệ phương trình  (x, y) = (1; -1) Bài 3 (2,5 điểm): 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 5).x – m + 6 = 0 (1), (x là ẩn, m là tham số) a/ Giải phương trình với m = 1. b/ Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 x 1 x 2  x 1x 22  24 . 2/ Bài toán thực tế. Một hãng taxi giá rẻ định giá tiền theo hai gói cước trong bảng giá như sau: + Gói 1: Giá mở cửa là 6000 đồng /1km cho 10km đầu tiên và 2500 đồng với mỗi km tiếp theo. + Gói 2: 4000 đồng cho mỗi km trên cả quãng đường. a) Nếu cô Tâm cần đi một quãng đường là 35 km thì chọn gói cước nào có lợi hơn? b) Nếu cô Tâm cần đi một quãng đường là x km mà chọn gói cước 1 có lợi hơn thì x phải thỏa mãn điều kiện gì? Bài 4 (3,5 điểm): 1/ Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E. a/ Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp. b/ Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh NFK cân và EM . NC = EN . CM. c/ Giả sử KE = KC. Chứng minh OK// MN và KM2 + KN2 = 4R2. 2/ Một hình trụ có thể tích bằng 35dm3. Hãy so sánh thể tích hình trụ này với thể tích hình cầu đường kính 6dm. Bài 5 (1,0 điểm): a/ Cho a, b là các số dương. Chứng minh 1 11 1     . ab 4a b 1 1 1    6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu xy yz zx 1 1 1 . thức: P    3x  3y  2z 3x  2y  3z 2x  3y  3z b/ Cho các số dương x, y, z thỏa mãn --------Hết-------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh......................... Câu Đáp án Điểm a/ 1,0 điểm A  3 8  50    2 1 2  3.2 2  5. 2  2  1 0,25  6 2  5 2  2 1  1 3 x 2  2x  1 3 B .  . 2 x 1 9x x 1 Bài 1 (1,5 điểm)  0,25  x  1 2  3x  2  3 x 1 . x  1 3x 3   x  1 1 . = (v× 0 < x < 1) x 1 3x x 0,25 0,25 b/ 0,5 điểm 2   1 2   x  2x  x 1  2 x  0 x x x 1 1  1  2 x  0 (v× x > 0)  x   x  (TM §K) 2 4 1 Vậy x = . 4 B  0,25 0,25 a/ 0,75 điểm Vì đồ thị hàm số y = (m2 – 4 )x + 2m – 7 song song với đường thẳng y m 2  4  5 = 5x – 1 nên  0,25 2m  7  1 m  3 hoÆc  3   m  3 Bài 2 m  3 (1,5 Vậy m = -3. điểm) b/ 0,75 điểm 0,25 0,25 2a  b  7 a  b  1 b/ Vì hệ có nghiệm (x, y) = (1; -1) nên ta có  3a  6 a  2    a  b  1  b  3 Vậy a = 2; b = 3 0,25 0,25 0,25 1a/ 0,5 điểm với m = 1, ta có phương trình x2 – 6x + 5 = 0 Xét a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0,  phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = 5. 1b/ 0,75 điểm 0,25 0,25 Có     m  5   4.1.  m  6   m2  10m  25  4m  24  m2  14m  1 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 khi m2 + 14m + 1 ≥ 0 x1  x 2  m  5 Theo định lý Viets, ta có  x1 .x 2   m  6 Theo đề bài: x12 x 2  x1x 22  x1x 2  x1  x 2     m  6  m  5    m 2  m  30  24 m  2   m 2  m  6  0   m  2  m  3  0  m3 Bài 3 Với m = -2,  = -23 < 0 (loại) (2,5 Với m = 3 ,  = 52 > 0 (nhận) m = 3 thì phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điểm) Vậy 2 x1 x 2  x1 x 22  24 2a/ 0,5 điểm 2a/ Số tiền cô Tâm phải trả khi đi theo gói cước 1 là : 10.6000 + 25.2500 = 122500 đồng. - Số tiền cô Tâm phải trả khi đi theo gói cước 2 là : 35.4000 = 140000 đồng >122500 đồng. Vậy cô Tâm nên chọn gói cước 1 có lợi hơn. 2b/ 0,5 điểm 2b) Vì cô chọn gói cước 1 có lợi hơn nên x > 10. - Số tiền cô Tâm phải trả khi đi theo gói cước 1 là : 10.6000 + (x-10).2500 = 2500x + 35000. - Số tiền cô Tâm phải trả khi đi theo gói cước 2 là :4000.x ( đồng) Vì đi theo gói cước 1 có lợi hơn nên 2500x + 35000 < 4000x 70 Suy ra 1500x > 35000 hay x > (km). 3 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 K' M H A O B 0,25 E N K F C 1/a : 0,75 điểm a/Xét tứ giác AHEK có:   90 (AB  MN); AKE   900  Gãc néi tiÕp ch¾ n nöa ®−êng trßn) 0,25 AHE   AKE   1800  Tứ giác AHKE nội tiếp (đpcm). Suy ra AHE 1/b: 1,25 điểm b/ Vì NF và KB cùng vuông góc với AC nên NF // KB, Bài 4   BN . AB  MN  MB (3,5     điểm) Có KFN  MKB (đồng vị và KE//FN), KNF  NKB (so le trong và KE//FN),   MKB  (vì MB   BN  )  KFN   KNF , BKN do đó NFK cân tại K.  nªn EM  KM (1) Xét MKN có KE là phân giác của MKN EN KN   CM  KM (2) . Do KE  KC nên KC là phân giác ngoài của MKN CN KN Từ (1) và (2)  CM EM  (2)  EM .CN  EN .CM (đpcm) CN EN 1/c: 0,75 điểm   450  HEB   450 (đối +/ KE = KC  KEC vuông cân tại K  KEC   450 (vì HEB vuông tại H) đỉnh)  HBE   450 nên OKB vuông tại O OK//MN +/ OKB cân tại O có OBK (cùng vuông góc với AB) (đpcm) +/ Kẻ đường kính KK’KK’M vuông tại M  KM2 + K’M2 = KK’2 = 4R2. Lại có KK’//MN (cùng vuông góc với AB)  cung K’M = cung KN (t/c 2 dây song song chắn 2 cung bằng nhau)  K’M = KN. Vậy KM2 + KN2 = 4R2 (đpcm). 2/: 0,5 điểm Gọi thể tích của hình trụ là V1V1= 35dm3 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 3 Thể tích hình cầu đường kính 6dm là V2  .33  36(dm 3 ) Suy ra V1<V2. a/: 0,25 điểm Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số a, b dương, ta có 1 1 1 a  b  2 ab ,   2 . a b ab 1 1 4 1 11 1 1 1  a  b      4         (đpcm) a b ab ab 4a b a b 0,25 0,25 Dấu bằng xảy ra khi a = b. b/: 0,75 điểm Theo câu a/ ta có Bài 5 (1,0 điểm  1 1 1 1 1      3x  3y  2z  x  z    y  z    2  x  y  4   x  z    y  z   2  x  y   1 1 1 1 1 1  1       4  x  z    y  z   8  x  y  16  x  z y  z  8  x  y  0,25 Hoàn toàn tương tự, ta cũng có 1 1  1 1  1    ;  3x  2y  3z 16  x  y y  z  8  x  z  1 1  1 1  1     2x  3y  3z 16  x  y x  z  8  y  z  0,25 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: P 1 1 1 1  2 2 2         3x  3y  2z 3x  2y  3z 2x  3y  3z 16  x  y y  z z  x  1 1 1 1  1 1 3       .6  .6  8xy yz zx 8 8 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 . 4 3 1 Vậy GTLN của biểu thức P là khi x = y = z = . 2 4 0,25 Bé gi¸o dôc ®μo t¹o Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hμ néi céng hoμ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc §Ò chÝnh thøc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán ( Dùng cho mọi thí thi vào trường chuyên) Thời gian : 120 phút Câu 1( 2 điểm) a 3  a  2b  Cho biểu thức P  b2 a  a 3  a 2  ab  a 2b b   :  với 2 2 a b a b    1 b    a ab 1  a a2   , a, b  0, a  b, a  b  a 2 . 1.Chứng minh rằng P  a  b.   2.Tìm a,b biết P  1 & a 3  b3  7 Câu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P  1 1 2  2  x  1 y  1 xy  1 2 1 1 2  2  x  1 y  1 xy  1 2 Câu 3(2 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y  2ax  4a (với a là tham số 1.Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi a   1 2 2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1  x2  3 Câu 4 (1 điểm) Anh nam đi xe đạp từ A đến C . Trên quãng đường AB ban đầu ( B nằm giữa A và C).Anh Nam đi với vận tốc không đổi a( km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tính bằng giờ) kể từ B là v  8t  a ( km/h) .Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là S  4t 2  at .Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16km. Câu 5 (3 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B ,C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chân đường các đường vuông góc kẻ từ P xuống các đường thẳng AB và AC và M là trung điểm cạnh BC. 1. Chứng minh MEP  MDP 2. Giả sử B, C cố định và A chạy trên (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 3. Khi tam giác ABC đều . Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. Câu 6 (1 điểm) Các số thực không âm x1 , x2 , x3 ,...., x9 thỏa mãn  x1  x2  x3  ....  x9  10   x1  2 x2  3 x3  ....  9 x9  18 Chứng minh rằng : 1.19 x1  2.18 x2  3.17 x3  ....  9.11x9  270 Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phần hướng dẫn Vòng 1 Câu 2 1 1 2 1 1 1 1  2   2   2  0 2 x  1 y  1 xy  1 x  1 xy  1 y  1 xy  1 xy  y 2 xy  x 2   0   xy  y 2  y 2  1   xy  x 2  x 2  1  0 2 2  x  1  xy  1  y  1  xy  1   x  y   xy  1  0  xy  1 (vi x  y )  S  2 Câu 2 2 a  0 a  4 a) Phương trình hoành độ (d) và (P) là x 2  2ax  4a  0  '  a  a  4   0   a  0 theo Viét b) Với  a  4  x1  x2  2a   x1 x2  4a x1  x2  3   x1  x2  2  9   x1  x2   2 x1 x2  2 x1 x2  9 2 Ta co 4a 2  8a  8a  9 Với a<0 4a 2  8a  8a  9  4a 2  16a  9  0  a   a  2 2 Với a>4 4a  8a  8a  9  4a  9   a   Câu 4 1 2 3  dk 2 3  dk 2 Vì xe đến C dừng hẳn nên thời gian xe đi từ B đến C thỏa mãn 8t  a  0  t  quàng đường BC là 2 2 a a S  4t  at  16  4     16  a 2  256  a  16 8 8   S AB  1,5.a  24( km) 2 Câu 5 A O B M C E I D P a do đó 8 a)Xét hai tứ giác nội tiếp BDPM và CEPM và tam giác MBC cân MEP  MBP  MBP  MDP b) BAC  ABC  ACB  1800 ; CBP  ABC  PBD  1800  ACB  PBD  DMP (1); ACB  MPE (2); tu(1)(2)  DMP  MPE  MD / / PE Tuong tu ME / / DB  tgMEDP la hinh binh hanh  IM  IP Vậy DE đi qua trung điểm PM c) A O B D M C E I P 1 2 3R 3R 3R 9 R BC AM 2 AB  R 3; OA  R  AM  ;AI=   ;  ABC dd ADE    2 2 4 4 DB AI 3 2 3R 3 1 9 R 3R 3 27 R 3  DE   S ADE  . .  2 2 4 2 16 Ta có A; O,M, P thẳng hàng S ADE  DE. AI Tính được Câu 6 9  x1  x2  x3  ...  x9   90 9  x1  x2  x3  ...  x9   90  19 x1  29 x2  39 x3  ...  99 x9  270  10  x1  2 x2  3 x3  ...  9 x9   180 Mat khac 1.19 x1  2.18 x2  3.17 x3  ...  9.11x9  (19 x1  29 x2  39 x3  ...  99 x9 )   7 x2  12 x3  15 x4 ...  7 x8   270   7 x2  12 x3  15 x4 ...  7 x8   270  x1  9  Dau "  " xay ra   x9  1  x  x  ...  x  0 3 8  2 GV biên tập và hướng dẫn Nguyễn Minh Sang;Đinh Văn Hưng THCS Lâm Thao - Phú Thọ Bé gi¸o dôc ®μo t¹o Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hμ néi céng hoμ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc §Ò chÝnh thøc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán ( Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian : 150 phút Câu 1. (1.5 điểm) Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1  ;b   ;c   ;d   Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. b c c d d a a b Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình : a2  x 2  2 x   4  x  1  x 2   x  1   x 2  x   2017 2 2 2 2 Câu 3. (3.0 điểm) 1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a 2  b3 ;c3  d 4 ; a  d  98 1 1 2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x  2; x 2  2 2; x  ; x  có đúng x x một số không phải là số nguyên. Câu 4. (3điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. 1. Chứng minh KO 2  KM 2  R 2 2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. 3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn. Câu 5. (1.0 điểm) A Xét hình bên : Ta viết các số 1, 2,3,4,..9 vào vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18. Hai cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số viết ở các điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách viết phân biệt ? Tại sao? F G H E K B D --------------Hết------------Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. C Vòng 2 Câu 1. (1.5 điểm) Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì 1 1 1 1 1 1 1 1 P  a 2    b2    c2    d 2    3 b c c d d a a b Mặt khác 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P  a 2    b2    c2    d 2    a 2  b2  c2  d 2  2      b c c d d a a b a b c d  1 1 1 4 2 1 Do 4  a 2  b 2  c 2  d 2    a  b  c  d  ;      a b c d abcd a  b  c  d  P a  b  c  d  . 16 16 16 16    33  12 . abcd abcd abcd abcd 4 4 Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. 2 2 Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình x  2 x   4  x  1  x 2   x  1   x 2  x   2017 2 2 2 2 2 ĐKXĐ x  R x  2 x   4  x  1  x 2   x  1   x 2  x   2017 2 2 2 2 2  x 4  2 x3  4 x 2  4 x 2  8 x  8  x 2  x 2  2 x  1  x 4  2 x3  x 2  2017  x 2  2x  2  2 x 2  x  1  2017  x 2  2 x  2  x 2  x  1  2017  x  2016 2 Câu 3. (3.0 điểm) 1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a 2  b3 ;c3  d 4 ; a  d  98 1 1 2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x  2; x 2  2 2; x  ; x  có đúng x x một số không phải là số nguyên. Hướng dẫn 1.Giả sử a  p1x1 . p2x2 . p3x3 .... pnxn trong đó p1; p2 ;..., pn là các số nguyên tố x1; x2 ;...; xn  N Tượng tự d  q1y .q 2y .q 3y ....q ny trong đó q1; q2 ;...,q n là các số nguyên tố y1; y 2 ;...; y n  N Ta có a,d >1 Vì 1 2 3 n a 2  p12 x1 . p22 x2 . p32 x3 .... pn2 xn  b3  2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,..., 2 x3  3  x1 , x2 , x3 ,..., x3  3  a  x 3 ,  x  Z   Chứng minh tương tự d  y 3 ,( y  Z  ) từ giả thiết a  d  98  x 3  y 3  98   x  y   x 2  xy  y 2   98 vi a  d  x  y  0  x  y 2  x 2  2 xy  y 2  x 2  xy  y 2  x  y  x 2  xy  y 2  x  y  1 x  y  1 x  y 1  2    yZ  xZ   2 2 2 2  x  xy  y  98 3 y  3 y  97  0  y  1   y  1 y  y  98 Hoặc