Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Lý thuyết

Câu hỏi

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

a) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\)

b) \(\displaystyle \int_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} \)

c) \(\int_0^\pi  {(\pi  - x)\sin {\rm{x}}dx} \)

d) \(\int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \sqrt x dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \int\limits_1^{{e^4}} {\sqrt x \ln xdx} = \left. {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x} \right|_1^{{e^4}} - \int\limits_1^{{e^4}} {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}.\dfrac{1}{x}dx} \\
= \dfrac{8}{3}{e^6} - \int\limits_1^{{e^4}} {\dfrac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \dfrac{8}{3}{e^6} - \left. {\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^{{e^4}}\\
= \dfrac{8}{3}{e^6} - \dfrac{4}{9}{e^6} + \dfrac{4}{9}= \dfrac{20}{9}{e^6}+ \dfrac{4}{9}.
\end{array}\)

b) Ta có: 

\(\eqalign{
& \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd( - \cot x) = - x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr 
& = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr} \)

 c) Ta có: 

\(\eqalign{
& \int_0^\pi {(\pi - x)\sin {\rm{x}}dx} = \int\limits_0^\pi {(\pi - x)d( - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )} \cr 
& = - (\pi - x)cosx\left| {_0^\pi } \right. + \int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm cosxd}\nolimits} (\pi - x) = \pi - s{\rm{inx}}\left| {_0^\pi } \right.} = \pi \cr} \)

 d) Ta có: 

\(\eqalign{
& \int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {(2x + 3)d( - {e^{ - x}}} ) \cr 
& = (2x + 3){e^{ - x}}\left| {_0^{ - 1}} \right. + \int\limits_{ - 1}^e {{e^{ - x}}} .2dx = e - 3 + 2{e^{ - x}}\left| {_0^1} \right. = 3e - 5 \cr} \)

Update: 15 tháng 5 2019 lúc 15:16:05

Các câu hỏi cùng bài học

• Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12
• Bài 2 trang 145 SGK Giải tích 12
• Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12
• Bài 4 trang 146 SGK Giải tích 12
• Bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12
• Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12
• Bài 7 trang 146 SGK Giải tích 12
• Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
• Bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12
• Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12
• Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12
• Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12
• Bài 13 trang 148 SGK Giải tích 12
• Bài 14 trang 148 SGK Giải tích 12
• Bài 15 trang 148 SGK Giải tích 12
• Bài 16 trang 148 SGK Giải tích 12