Vận dụng cao - Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ôn thi THPTQG năm 2021

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN I . LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b  . Hàm số F(x) là một nguyên     hàm của hàm số f(x) trên đoạn a;b  . Hiệu số F (b)  F (a ) được gọi là tích phân từ a đến   b b của hàm số f(x). Kí hiệu:  f (x )dx . a b Vậy:  f (x )dx  F (x ) a b a  F (b)  F (a ) b Ta gọi  là dấu tích phân; a là cận dưới; b là cận trên; f (x ) là hàm số dưới dấu tích a phân; f (x )dx là biểu thức dưới dấu tích phân. a Chú ý: a) b a  f (x )dx  0 .  f (x )dx   f (x )dx a a . b b) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến: b b  f (x )dx   f (t )dt . a a 2. Các tính chất của tích phân: b Tính chất 1: b  k.f (x )dx  k. f (x )dx a b Tính chất 2:   f (x )  g(x )dx  a b  b f (x )dx   g(x )dx . a b Tính chất 3: . a c a b  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx a a , c II . DẠNG TOÁN Tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối b Bài toán : Tính tích phân I   g x  dx a ( với g (x ) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên a;b    (a  c  b) . Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách) Tính mỗi tích phân thành phần. b Đặc biệt : Tính tích phân I   f (x ) dx a Cách giải Cách 1: +) Cho f (x )  0 tìm nghiệm trên a;b    +) Xét dấu của f (x ) trên a;b  , dựa vào dấu của f (x ) để tách tích phân trên mỗi đoạn   tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách) +) Tính mỗi tích phân thành phần. Cách 2: +) Cho f (x )  0 tìm nghiệm trên a;b  giả sử các nghiệm đó là x 1; x 2 ;...x n   ( với x 1  x 2  ...  x n ). x1 Khi đó I  I  x2 x3 b a x1 x2 xn x1 x2 x3 b  f (x ) dx   f (x ) dx   f (x ) dx  ...   f (x ) dx  f (x )dx  f (x )dx  a x1   f (x )dx  ...  x2  f (x )dx xn +) Tính mỗi tích phân thành phần 2 Ví dụ 1: Tính tích phân I   x  1dx ta được kết quả : 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Cách 1: Cho x  1  0  x  1 ( thỏa mãn) Ta có bảng xét dấu : x 0 2  x 1 1 2 0 1 Khi đó : I   x  1dx   = 1  chọn A Cách 2: 1 0  1 2 x 2   2    x    x  x  x  1 d x        2  2     0 1 Cho x  1  0  x  1 ( thỏa mãn) 2 Khí đó I  1  x  1dx  2  0 x  1dx   x  1dx  0 1 1  x  1dx 2   x  1dx 0 1 1 2 x 2  x 2  1  1       x     x    1     1  1  chọn A    2 2  2  2 0 1 2  Ví dụ 2: Tính tích phân I  x 2  1 dx ta được kết quả : 2 A. 4 B. 3 C. 9 D. 9 2 Lời giải Cách 1: Cho x 2  1  0  x  1 ( thỏa mãn) Bảng xét dấu của x 2  1 trên đoạn 2;2   x -2 -1 + 0 x2 1 1 2 I   2 x  1 dx  2  x 2 2 1  -  1 0 2   2 +   1 dx   1  x dx   x 2  1 dx 2 1 1 x 3  1  x 3 2 x3  1    x   x      x   4  chọn B  3 3  1  3  2   1 Cách 2: Cho x 2  1  0  x  1 ( thỏa mãn) 1 Khi đó: I   2 1   x 2  1 x  1 d x   x  1 dx   x 2  1 d x  1 dx  2 2 1 1  x 2 1   1 dx  1 1 2 2 2  x 2   1 dx 1 1 2 x 3  x 3  x 3  2  2 2 2 2  2           x     x     x              4     3  3 3  3  3 3 3  3   3 2 1 1  chọn B 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I   x 2  3x  2 dx ta được kết quả : 0 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Lời giải Cách 1: x  1 Cho x 2  3x  2  0   ( thỏa mãn) x  2 Bảng xét dấu của x 2  3x  2 trên đoạn 0;2   0 1 x 2 0  x  3x  2   2 0 Khi đó : 1  x I  2 2     3x  2 dx   x 2  3x  2 dx 0 1 1  x 3 3x 2     x 2  2  3  0  Chọn D 2  x 3 3x 2  5 -   x 2    2 6  3 1  1 - -   1  6  . Cách 2: x  1 Cho x  3x  2  0   (thỏa mãn) x  2 2 1 I1   2 x 2  3x  2 dx   x 2  3x  2 dx 0 1 1   x 2 2   3x  2 dx  0  x 2   3x  2 dx 1 1 2  x 3 3x 2   x 3 3x 2  5 1     x 2      x 2      1  3  3 2 2 6 6  0  1  Chọn D 3 4 Ví dụ 4: Tính tích phân I   sin 2x dx ta được kết quả :  4 A. 3 Nếu : B. 2 C. 1 Lời giải     x    2x    sin 2x  0 4 2 2 D. 0 Nếu :  3 3 x     2x   sin 2x  0 2 4 2 3 4  Khi đó: I  sin 2x dx   4 1   cos 2x 2  2  4 1  cos 2x 2  2 3 4  4  2  sin 2xdx   sin 2xdx 3 4   2 1 1 1  0  0  1  1  Chọn C  2 2 a Ví dụ 5: Tính tích phân I   x 2  x dx ta được kết quả I  1 A. a  1 B. a  2 C. a  3 Lời giải Nhận xét: từ các đáp án  a  1 x  0 Cho x 2  x  0   ( thỏa mãn) x  1 Ta có bảng xét dấu của x 2  x trên đoạn 1;a    1 x a 0  x2  x 0 Khi đó I   x 1 2 1   a  11 , khi đó ta có: 6 D. a  4 0 1    0   x dx   x  x dx   x 2  x d x 2 0 0 1 a 1 2 2 2  x 3 x 2   3  3  3      x  x    x  x   0   5    1   a  a    1       3  3  3  6   6   3 2  2  2  2   6     1 0 1 7 a3 a2    6 3 2 Do 55 7 a3 a2 11 I       2a 3  3a 2  4  0 30 6 3 2 6 2  a  2 2a  a  2  0  a  2    chọn B 1 Ví dụ 6: Tính tích phân I   x 3  x 2  x  1dx ta được kết quả I  1 a  b là: A. 7 B. 3 C. 5 a , khi đó tổng b D. 9 Lời giải Do x 3  x 2  x  1  x  1x  1  0, x  1;1   1 1 x 4 x 3 x 2  11  5  4 3 2  Khi đó I   x  x  x  1 dx       x         12  3  4 3 2 12   1 1  a  4, b  3  a  b  7  chọn A 2   0 Ví dụ 7: Tính tích phân I   2 x2  x  2 dx ta được kết quả I  a  b ln 2  c ln 3 x 1 ( với a, b, c là các số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức T  2a 3  3b  4c là: A.T  20 B. T  3 C. T  22 D. T  6 Lời giải x  1 x  1x  2 x2  x  2 0  0   Cho , do x  2; 0 nên x  1   x  2 x 1 x 1  x 2 1 0  x2  x  2 x 1  0 Khi đó 1 0 1 0  x 2  x  2   x 2  x  2     2  x  2 dx dx    dx   x   I    d x      x  1   x  1  x  1 x  1  2  1  2 1 1 0 x 2  x 2       2 ln x  1     2 ln x  1   1  4 ln 2  2 ln 3  2  2  2  1  a  1, b  4, c  2  T  2a 3  3b  4c  22  chọn C 1 Ví dụ 8: Tính tích phân I   x x - a dx, a  0 ta được kết quả I  f (a) . Khi đó tổng 0 1 f (8)  f   có giá trị bằng: 2 24 91 A. B. 91 24 C. Lời giải 17 2 D. 2 17 TH1: Nếu a  1 khi đó 1  x 3 ax 2  a 1 8 1 11     f (8)    I   x x  a  dx     3 2  2 3 2 3 3 0 0 1 a 1 0 a TH 2: Nếu 0  a  1 khi đó I   x x  a  dx   x x  a  dx a 1  x 3 ax 2   x 3 ax 2  1 a3 a 1 1 1 1 1               f            2  2  3 2 3  2  24 4 3 8  3  3 0 a  1  11 1 91 Khi đó f (8)  f       chọn B  2  3 8 24 1 Ví dụ 9: Tính tích phân I   2x  2x dx ta được kết quả I  1 a ( với a, b là các số ln b b nguyên dương). Khi đó J   2 x  3dx có giá trị bằng: a 1 . 2 A. J  C. J  B. J  2 . 1 . 3 D. J  3 . Lời giải 2x Cho 2 x  2 x  0  0  2 1  0  22 x  1  x  0 x 2 1 Khi đó I   2  2 x x 1  dx   2 x x 2  0 b 0 1  2 x 2 x   2 x 2 x  dx           ln 2 ln 2  1  ln 2 ln 2  0 2 1 1  a  1, b  2 . Khi đó J   2 x  3dx   2 x  3 dx   chọn A ln 2 2 a 1 BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:  b A.  b f  x  dx  a B. a 3 C.  1 f  x dx 1 3 x 3  x dx 1 2018 x  e  x  1 dx   e  x  1 dx 2  1 3 x dx  D. 2  2018 4 2 x  x  1 dx  1  x 4  x 2  1 dx 1 Lời giải 2018 Vì x 4  x 2  1  0, x   1; 2018   2018 x 4  x 2  1 dx  1 1 Câu 2: Tính tích phân I   0 x  2 dx ta được kết quả  x 1 4  x 2  1 dx  chọn D A. 1 2 3 2 Lời giải B. 1 D. 2 C. 1 x 2  3 Do x  2  0, x   0;1  I   x  2dx    2x    chọn C  2  2 0 0 THÔNG HIỂU 1 4 Câu 3: Tính tích phân I   x 2  3x  2 dx ta được kết quả 1 A.  19 2 B. 19 2 1 I  28 6 Lời giải C. 2  1 D. 19 4 (x 2  3x  2)dx  (x 2  3x  2)dx  (x 2  3x  2)dx 1 1 2 2 4  x 3 3x 2   x 3 3x 2   x 3 3x 2  19     2x      2x      2x      3  3  3 2 2 2 2  2 1 1  chọn B VẬN DỤNG 2 Câu 4: Tính tích phân I   x   x  1 dx ta được kết quả: 1 A. 2 B. 1 C. 0 Lời giải Cách 1: 2 I   2  x  x  1 dx  1  1 0 2 2 x dx   x  1 dx 1 1 2   xdx   xdx   x  1 dx   x  1 dx 1 1 0 x2 I2   2 0 1 1 1 2 2 x 2  x 2  x2     x     x   0 . chọn C    2 2 0  2 1 1 Cách 2: 0 I  1 2 0 1  x  x  1 dx   x  x  1 dx   x  x  1 dx 1  x 0 1   x2  x  chọn C  1 0 2 x  0 1 D. 1 2 Câu 5: Tính tích phân I   3x  x  4 dx ta được kết quả I  a  0 b ( với a, b, c là ln c các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức T  a3  3b 2  2c bằng: A. 55 B. 36 C. 38 D. 73 Đặt h x   3  4  x   3  x  4 . x Lời giải x Bảng xét dấu 0 x h x  1  2  1 0    2  I   3x  x  4 dx   3x  x  4 dx 0 1 1 2  3x  3x x2  x2  4    4x      4x    1   a  1, b  4, c  3  ln 3  ln 3 2  2  ln 3 0 1  T  a 3  3b 2  2c  55  chọn A