§2. Tích vô hướng của hai vectơ

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1.Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ $\vec{0}$ . Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số được ký hiệu là $\vec{a}$ . $\vec{b}$ , được xác định bởi công thức sau :

$\vec{a}$ . $\vec{b}$ = | $\vec{a}$ |.| $\vec{b}$ |cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ )

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ bất kì và mọi số k ta có :

$\vec{a}$ . $\vec{b}$ = $\vec{b}$ . $\vec{a}$ (tính chất giao hoán)

$\vec{a}$ .( $\vec{b}$ + $\vec{c}$ ) = $\vec{a}$ . $\vec{b}$ + $\vec{a}$ . $\vec{c}$ ( tính chất phân phối)

(k. $\vec{a}$ ). $\vec{b}$ = k( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\vec{a}$ .(k $\vec{b}$ )

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ), cho hai vec tơ $\vec{a}$ = (a₁ ; a₂), $\vec{b}$ = (b_{1 ;}b₂). Khi đó tích vô hướng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\vec{a}$ . $\vec{b}$ = a₁b₁ + a₂ b₂

Nhận xét: Hai vectơ $\vec{a}$ = (a₁ ; a₂), $\vec{b}$ = (b_{1 ;}b₂) khác vectơ $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

a₁b₁ + a₂ b₂= 0

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ $\vec{a}$ = (a₁ ; a₂) được tính theo công thức:
$\vec{a}$ = $\sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}$

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu $\vec{a}$ =(a₁ ; a₂), $\vec{b}$ = (b_{1 ;}b₂) khác vectơ $\vec{0}$ thì ta có:

cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a|.|\vec{b}}|}$ = $\frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$