Tính chất phần nguyên

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHẦN NGUYÊN TRONG CÁC BÀI TOÁN CỦA DÃY SỐ Nguyễn Đình Thức Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định Khi quan tâm khảo sát bài toán số học của dãy số , ta thấy có vấn đề đặt ra là : 1/ Khi dãy số đã cho có công thức chứa biểu thức phần nguyên; phần thập phân thì giải các bài toán về dãy số đó thực hiện ra sao? 2/ Biến đổi dãy số bất kỳ quy về dãy số có công thức chứa biểu thức phần nguyên; phần thập phân như thế nào ? Phần 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC PHẦN NGUYÊN; PHẦN THẬP PHÂN Một số thí dụ sau đây trình bày cụ thể giải pháp xử lý Thí dụ 1 : (Olympic Canada;1996) Cho các số hữu tỉ dương r1; r2 ;...;r 2015có tổng bằng 1 và dãy số xn  gồm các số thực xác định như sau 2015 xn  n   nrk  ; n  Z  k 1 ( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x) Xác định gía trị lớn nhất và bé nhất của các giá trị xn Giải : Theo định nghĩa phần nguyên ta có nrk   nrk và giả thiết 2015 2015 2015 k 1 k 1 2015 k 1 2015 r k 1 k 1   nrk    nrk  n  rk  n.1  xn  n  nrk   0 . Min xn =0 đạt khi n=0 k 1 Mặt khác theo định nghĩa phần nguyên ta có nrk 1  nrk  và giả thiết 2015 2015 2015 2015 k 1 k 1 k 1 k 1 2015 r k 1 k 1  xn  n   nrk   n  rk   nrk    (nrk  nrk )  1  1  ..  1  2015 Max xn =2014 Thí dụ 2 : (IMO- 1968). Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau  k  2n 1  ; n  Z  an 1    n  2  ( x là phần nguyên của biễu diễn thập phân số thực x)  Chứng minh rằng a i 1  k  20  i  k (k nguyên dương cho trước)  k  21   k  22  (  1  +  2  +  3  +….=k)  2   2   2  Giải : Bài toán chứng minh bằng quy nạp 1  20  1  21  1  22  Rõ ràng bài toán đúng khi k=1 vì  1  +  2  +  3  +….=1  2   2   2  Giả sử bài toán đúng với mọi số nhỏ hơn k. Ta chứng minh bài toán đúng cho k Đến bước quy nạp ta chia số k thành 2 trường hợp k chẵn hoặc k lẻ Vận dụng biễu diễn k trong hệ nhị phân Giả sử k= at at1...a1a0 2  2at at1...a1 2  a0 Nếu k=2m thì a0 =0 ; m= at at 1...a1 2 Nếu k=2m+1 thì a0 =1 ; m= at at 1...a1 2 Trở lại bài toán   k  2i   2m  a0  10...02 (i sô 0)   2m  10...02 (i sô 0) a0  2i 1    100...0 (i  1 sô 0)    100...0 (i  1 sô 0)  100...0 (i  1 sô 0)     2 2 2     2m  1...02 (i sô 0)   m  1...02 (i  1 sô 0)      10...0 (i sô 0)    10 ... 0 ( i  1 sô 0 ) 2 2      k  21   k  22   k  102   k  100 2   m  12   m  102    2  +  3  +….=    ...        ...  2   2   100 2   1000 2   102   100 2   m  12   m  102   m  100 2  Sử dụng giả thiết quy nạp cho mj Theo yêu cầu bài toán thì 25 chính là số mũ j của 5 n  n   n  n      2    3   ...   l   ..  25 (*)  5  5  5  2  n  104 thì vế trái(*)  24 (loại) n  110 thì vế trái(*)  26 (loại) Chỉ có 5 giá trị n=105;106;107;108;109 thỏa (*) Có 5 số nguyên dương n để an là 1 số nguyên có chữ số tận cùng khác 0 Thí dụ 7 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên từ 2000 đến 2015 . Hỏi có bao nhiêu số nguyên an không chia hết cho 1 trong các số 3;4;5 Giải : Xét dãy số nguyên từ 1000 đến 2015 có 1016 số hạng    -số lượng các số chia hết cho 3 là A     671  333  334   3   3  2015 999 2015   999  -số lượng các số chia hết cho 5 là B     403  199  204  5   5     -số lượng các số chia hết cho 4 là C     501  249  252   4   4  2015 999 2015   999  -số lượng các số chia hết cho 15 là A  B      134  66  68  15   15  2015   999  -số lượng các số chia hết cho 12 là A  C     167  83  84  12   12  2015   999  -số lượng các số chia hết cho 20 là B  C     100  49  51  20   20  2015   999    33  16  17 -số lượng các số chia hết cho 60 là A  B  C    60   60  Số lượng số nguyên an từ 1000 đến 2015 không chia hết cho 1 trong các số 3;4;5 là 1016-( A + B + C ) +( A B + A  C + B  C ) - A  B  C =1016-790+203-17=412 Bài tập Bài tập 1 (Olympic 30.4 lần thứ 14, 2008, THPT chuyên Lê Quý Đôn BĐ) Có bao nhiêu số nguyên dương n  2008 thoả mãn C2nn không là bội của 4. Bài tập 2 Tìm luỹ thừa cao nhất k của 7 mà 1000! có thể chia hết cho 7k . Bài tập 3 Chứng minh rằng 1300! chia hết cho 16953 . Bài tập 4 (Thi học sinh giỏi các vùng của Mĩ, 1986) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất N sao cho N ! chia hết cho1212 Bài tập 5 Cho (n -1)! chia hết cho n. Chứng minh n không nguyên tố. Bài tập 6 Trong các số tự nhiên từ 1 đến 250 có bao nhiêu số không chia hết cho đúng hai trong ba số 2, 5, 7. Bài tập 7 Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 6 có bao nhiêu số đồng thời không chia hết cho 6, 9, 15 . Bài tập 8 (Thi học sinh giỏi Quốc gia, 1995) Tìm số tự nhiên lớn nhất k thỏa mãn điều kiện: 1994!1995 chia hết cho 1995k Bài tập 9 (Thi học sinh giỏi bang New York, 1986) Khi biểu diễn trong hệ đếm cơ số 8, N ! được kết thúc bởi đúng 21 chữ số 0. Hãy tìm số nguyên dương lớn nhất N có tính chất này (tìm biểu diễn của N trong cơ số 10). Sử dụng đại lượng liên hợp để tìm phần nguyên của số hạng chứa căn thức và xét tính chất khác của các số hạng trong dãy số nguyên Thí dụ 8 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau 2  3 1  a  2  3 ,n  Z n n  n Chứng minh rằng số hạng a2015 của dãy số trên là số lẻ Giải : Ta có: 2  3   1  an  2  3  n  n    n n  an  2  3  an  1  an   2  3    2015   a2015   2  3     Xét dãy số nguyên sn  : sn  2  3   2  3  Mà 2  3   2  3   4; 2  3 2  3   1 n n  sn  2  4sn 1  sn  sn  4  4sn 3  sn  2  4sn 3  (4sn 1  sn )  sn  4  sn 2 Mà 2015=4.503+3  s2015  s3 2 s3  4s2  s1  4.14  4  52  2  s2015  2 (*) Mặt khác    2  3 1  2  3  2  3   = s 1(*)   s2015 1  2  3  a2015 2015 2015 2015  s2015 2015 2015 Từ (*) và (**) suy ra a2015 là số lẻ Thí dụ 9 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau 5  2 6  1  a  5  2 6  , n  Z n n  n Tìm chữ số hàng đơn vị của số hạng a2015 của dãy số trên Giải : Ta có: 5  2 6  1  an  5  2 6  n   n   n n  an  5  2 6  an  1  an   5  2 6    2015   a2015   5  2 6     Xét dãy số nguyên sn  : sn  5  2 6   5  2 6  Mà 5  2 6   5  2 6   10; 5  2 6 5  2 6   1 n n  sn  2  10sn 1  sn  sn  4  10sn 3  sn  2  10sn 3  (10sn 1  sn )  sn  4  sn 10 Mà 2015=4.503+3  s2015  s3 10 s3  10s2  s1  10.98  10  970 có tận cùng là 0  s2015 có tận cùng là 0 (*) Mặt khác    5  2 6  1  5  2 6   5  2 6   = s 1(*)   2015 s2015  1  5  2 6  a2015 2015 2015  s2015 2015 2015 Từ (*) và (**) suy ra chữ số tận cùng của a2015 là 9 Thí dụ 10 : Cho dãy số an  gồm các số nguyên xác định như sau 3  p  2n   1  an  3  p  2n , n  Z  với p nguyên tố Tìm số p nhỏ nhất sao cho an  1 chia hết cho 2n 1 với mọi số tự nhiên n Giải : Ta có: 3  p   1  an  3  p  2n  2n    2n  an  1  an   3  p    Với p=2; nếu chọn n=2 thì a2  1  (11  6 2 )2  1  193  132 2  1  378 không chia hết cho 23 Với p=3; nếu chọn n=1 thì a1  1  (3  3)2  1  12  6 3  1  23 không chia hết cho 22  an  3  p 2n         Với p=5; Xét dãy số nguyên sn  : sn  3  5   3  5  2n   1  s  1  3  5   3  5   3  5   = s  1   0  3 5 2n 2n 2n 2n n  1  3  5  2n  sn 2n n  an  1  sn Mặt khác do sn  3  5   3  5  2n 2n 3  5   3  5   28; 3  5  3  5   16 2 2 2 2  sn  2  28sn 1  16sn s1  2822 ; s2  75223 Giả sử sn 2n 1  sn 1 2n  2  sn  2  28sn 1  16sn 2n  3 Theo nguyên lý qui nạp có an  1  sn 2n 1; n  Z  Vậy số nguyên tố nhỏ nhất là p=5 thỏa an  1 chia hết cho 2n 1 với mọi số tự nhiên n Bài tập Bài tập 1 Chứng minh rằng trong biễu diễn thập phân của số 8  3 7  có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy Bài tập 2 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Chứng minh rằng trong biễu diễn n thập phân của số 7  4 3  ; n  Z  có ít nhất n chữ số 9 sau dấu phẩy 7 Bài tập 3 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Chứng minh rằng trong biễu diễn n thập phân của số 5  2 6  ; n  Z  có n chữ số bằng nhau sau dấu phẩy n Bài tập 4 Tìm số mũ cao nhất của 2 trong phân tích 1  3  ; n  N thành   tích các thừa số nguyên tố Bài tập 5 (Olympic 30.4 lần thứ 7, 2001, THPT Chuyên Trà Vinh) Tìm số 2001 nguyên k lớn nhất sao cho 1  3   chia hết cho 2k   Bài tập 6 (Olympic 30.4 lần thứ 15, 2009, THPT Quốc học Huế) Tìm số dư khi chia 4  15   cho 8   n Bài tập 7 (Olympic 30.4 lần thứ 10, 2004, THPT Lý Tự Trọng Cần Thơ ) Chứng minh rằng  3  2   không chia hết cho 5; n  Z    2n 7 Bài tập 8 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Tính 4  15     Bài tập 9(Olympic 30.4 lần thứ 7, 2001, THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu; 2001 An Giang) 45  2001     KẾT LUẬN Bài viết đã trình bày tương đối khái quát về d ã y s ố c ó b i ể u t h ứ c phần nguyên và biến đổi đưa về dạng này. Đặc biệt các thí dụ trình bày giải pháp xử lý các dạng toán có ch ứa phần nguyên trong số học, đại số và giải tích. Nhiều vấn đề lí thuyết của phần nguyên liên quan đến tính chia hết, nhị thức Newton, phương trình sai phân và hệ đếm. Chúng tôi hi vọng bài viết này là tài liệu để các giáo viên và học sinh phổ thông quan tâm tham khảo.