Tài liệu ôn tập thi THPT Quốc gia 2018 môn Toán

UBND TỈNH TUYÊN QUANG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÂN CÔNG BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA
THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: Toán
STT

1

2

3

4

5

6

Tên bài/chuyên đề
Ứng dụng của Đạo hàm
- Tính đơn điệu của hàm số
- Cực trị của hàm số
- GTLN, GTNN của hàm số. Bài
toán tối ưu
- Đường tiệm cận của đồ thị hàm
số
- Đồ thị của hàm số
- Sự tương giao giữa các đồ thị.
Tiếp tuyến của đồ thi hàm số.
Lũy thừa - Mũ – Logarit
- Lũy thừa, Mũ, Logarit
- Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ,
Hàm số logarit
- Bài toán lãi suất
- Phương trình, Bất phương trình
mũ
- Phương trình, Bất phương trình
logarit
Nguyên hàm -Tích phân và ứng
dụng
- Nguyên hàm
- Tích phân
- Ứng dụng của tích phân
Số phức
- Dạng đại số và các phép toán
trên tập số phức
- Phương trình bậc hai với hệ số
thực
- Biểu diễn hình học của số phức
Khối đa diện. Mặt nón, Mặt trụ,
Mặt cầu
- Khối đa diện và thể tích khối đa
diện
- Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu
Phương pháp tọa độ trong
không gian

Dự kiến
số tiết

Đơn vị phụ trách biên soạn

12

THPT Chuyên
THPT Hòa Phú
THPT Yên Hoa

12

THPT Dân tộc Nội trú tỉnh
THPT Sơn Nam
THPT Minh Quang

12

THPT Tân Trào
THPT Thái Hòa
THPT Lâm Bình

12

THPT Nguyễn Văn Huyên
THPT Tháng 10
THPT Thượng Lâm

12

THPT Ỷ La
THPT Đầm Hồng
THPT Na Hang

12

THPT Sơn Dương
PTDTNT ATK Sơn Dương
THPT Hà Lang

Ghi chú

STT

7

8

9

10

11

12

Tên bài/chuyên đề
- Hệ tọa độ trong không gian
- Phương trình mặt cầu
- phương trình mặt phẳng
- Phương trình đường thẳng
- Vị trí tương đối giữa đường
thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
- Góc và khoảng cách
Lượng giác
- Cung và góc lượng giác. Giá trị
lượng giác của một cung. Công
thức lượng giác
- Hàm số lượng giác
- Phương trình lượng giác cơ bản
và thường gặp
Tổ hợp - xác suất
- Quy tắc đếm
- Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp
- Nhị thức Niu-Tơn
- Phép thử và biến cố
- Xác suất của biến cố
Dãy số - Giới hạn
- Phương pháp quy nạp toán học.
Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số
nhân.
- Giới hạn của dãy số
- Giới hạn của hàm số
- Hàm số liên tục
Đạo hàm
- Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
- Quy tắc tính đạo hàm
- Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Vi phân
- Đạo hàm cấp cao
Phép dời hình, phép đồng dạng
trong mặt phẳng
Hình học không gian lớp 11
- Quan hệ song song trong không
gian
- Quan hệ vuông góc trong không
gian
- Khoảng cách. Góc

Dự kiến
số tiết

Đơn vị phụ trách biên soạn

9

THPT Đông Thọ
THPT Kim Bình

9

THPT Kim Xuyên
THPT Sông Lô

9

THPT Kháng Nhật
THPT Xuân Huy

9

THPT Hàm Yên
THPT Xuân Vân

9

THPT Chiêm Hóa
THPT Trung Sơn

9

THPT Phù Lưu
THPT ATK Tân Trào

126

Ghi chú

Ghi chú:
YÊU CẦU ĐỐI VỚI TÀI LIỆU
- Tài liệu ôn tập được xây dựng theo các chủ đề/chuyên đề của cả lớp 11 và lớp 12;
mỗi chủ đề/chuyên đề bao gồm các phần: Kiến thức cơ bản, Luyện tập và Các câu hỏi
trắc nghiệm (trừ môn Ngữ văn theo hình thức tự luận).
- Tài liệu ôn tập phải đảm bảo phù hợp với chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương
trình; bao quát toàn bộ nội dung của lớp 11 và lớp 12; đảm bảo tính chính xác, khoa
học; câu hỏi trắc nghiệm đạt yêu cầu theo quy định của ra đề thi trắc nghiệm chuẩn
hóa.
- Thời lượng chương trình ôn tập: Tối đa bằng thời lượng chương trình chính khóa
của các bộ môn.
QUY ĐỊNH CÁCH THỨC TRÌNH BÀY CÁC CHUYÊN ĐỀ
- Đặt lề trái, phải, trên, dưới: 2cm (Paper size: A4)
- Font chữ: Times New Roman
- Cỡ chữ:
Tên chuyên đề (in hoa đậm cỡ 18);
Tên các chủ đề trong chuyên đề (in hoa đậm cỡ 16);
Các chữ in hoa khác: in đậm cỡ 14
Nội dung: cỡ 12
- Công thức toán: Dùng phần mềm MathType, cỡ chữ trong công thức là 12
- Hình vẽ và bảng biểu phải trực quan, chính xác, rõ ràng. Phải group lại để không bị
vỡ hình khi di chuyển.
- Về nội dung và cách trình bày chuyên đề: (Xem phần minh họa)
Chú ý:
- Mỗi chuyên đề đều đã ấn định số tiết cụ thể. Các thầy cô biên soạn tách buổi (mỗi
buổi 3 tiết). Trong 3 tiết học sẽ gồm đủ các nội dung:
A. Kiến thức cơ bản;
B. Kĩ năng cơ bản (bao gồm cả kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay);
C. Bài tập luyện tập;
D. Bài tập TNKQ (25 câu hỏi trắc nghiệm khách quan đủ 4 mức độ: nhận biết
(khoảng 5 câu), thông hiểu (khoảng 10 câu), vận dụng (khoảng 5 đến 8 câu),
vận dụng cao (khoảng 2 đến 5 câu)).
- Sau mỗi chuyên đề biên soạn một bài kiểm tra 45 phút (có ma trận) gồm 25 câu
hỏi TNKQ.

Buổi 1.

CHỦ ĐỀ 1+2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một
đoạn.
• Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K ,x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
• Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K ,x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn
Giả sử
điệu:
hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ′( x) ≥0, ∀x ∈ K .
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ′( x) ≤0, ∀x ∈ K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn
Giả sử
điệu:
hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
• Nếu f ′( x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
• Nếu f ′( x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
• Nếu f ′( x) =0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
 Chú ý.
 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số
đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số

y = f ( x) liên tục trên

y = f ( x) liên tục trên đoạn

[ a; b] và có đạo

hàm f ′( x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng ( a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [ a; b] .
 Nếu f ′( x) ≥0, ∀x ∈ K ( hoặc f ′( x) ≤0, ∀x ∈ K ) và f ′( x) =0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K
thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).
4. Kĩ năng cơ bản
4.1. Lập bảng xét dấu của mộtPbiểu
(x) thức
Bước 1.Tìm nghiệm của biểu thức P (x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P (x) không xác định.
Bước 2.Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3.Sử dụng máy tính tìm dấu của P (x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
4.2. Xét tính đơn điệu của hàm
y = f (x
số
) trên tập xác định
Bước 1.Tìm tập xác định D.
Bước 2.Tính đạo hàm y′ = f ′( x) .
Bước 3.Tìm nghiệm của f ′( x) hoặc những giá trị x làm cho f ′( x) không xác định.
Bước 4.Lập bảng biến thiên.
Bước 5.Kết luận.
4.3. Tìm điều kiện của tham số myđể
= fhàm
số biến, nghịch biến trên
(x) đồng
b)
(a;khoảng
cho trước.
Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D :
≤' 0, ∀x ∈ (a; b)
 Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y
1

 Hàm số đồng biến trên ( a; b) ⇔ y
≥' 0, ∀x ∈ (a; b)
a1 x+ b1
thì :
cx+ d
 Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y
<' 0, ∀x ∈ (a; b)

 Chú ý:Riêng hàm số y =

>' 0, ∀x ∈ (a; b)
 Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y
* Nhắc lại một số kiến thức liên quan :
Cho tam thức g( x) =ax2 + bx+ c (a ≠0)
U

U

a > 0
a < 0
a) g( x) ≥0, ∀x ∈  ⇔ 
b) g( x) > 0, ∀x ∈  ⇔ 
 ∆ ≤0
∆ > 0
a < 0
a < 0
c) g( x) ≤0, ∀x ∈  ⇔ 
d) g( x) < 0, ∀x ∈  ⇔ 
 ∆ ≤0
∆ < 0
) trên khoảng (a; b) :
 Chú :ýNếu gặp bài toán tìm mđể hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến
 Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x) ≥0 (hoặcf ′( x) ≤0 ), ∀x ∈ (a; b) về dạng g( x) ≥h( m) (hoặc
U

U

g( x) ≤h( m) ), ∀x ∈ (a; b) .
 Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g( x) trên (a; b) .
U

U

 Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
U

U

B. Cực trị của hàm số
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là −∞; b là +∞)
và điểm x0 ∈ (a; b) .
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) < f ( x0 ) với mọi x∈ ( x0 −h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số
f ( x) đạt cực đại
tại x0 .
• Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f ( x) > f ( x0 ) với mọi x∈ ( x0 −h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số
f ( x) đạt cực tiểu
tại x0 .
2. Điều kiện đủ để hàm số cóGiả
cực
sử hàm
trị: số y = f ( x) liên tục trên K =( x0 −h; x0 + h) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \ {x0 } , với h > 0 .
• Nếu f ' ( x) > 0 trên khoảng ( x0 −h; x0 ) và f '( x) < 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại
của hàm số f ( x) .
• Nếu f ′( x) < 0 trên khoảng ( x0 −h; x0 ) và f ′( x) > 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu
của hàm số f ( x) .
x
f ′( x)
f ( x)

x0 −h
+

Minh họa bằng bảng biến thiên
x0
x0 + h
x0 −h
x
f ′( x)
−
−
fCÑ

f ( x)

x0

x0 + h
+

fCT

 Chú ý.

2

 Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại
tiểu
) của hàm số;

(điểm cực
x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại

f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại
(giá trị cực tiểu
) của hàm số, kí hiệu là

fCÑ ( fCT ) , còn điểm M (x 0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu
) của đồ thị hàm số.
Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực .trị
còn gọi là cực đại
(cực tiểu
) và được gọi chung là cực trị
của hàm số.
3. Kĩ năng cơ bản
3.1.Quy tắc tìm cực trị của hàm số
• Quy tắc 1:
Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2.Tính f ′( x) . Tìm các điểm tại đó f ′( x) bằng 0 hoặc f ′( x) không xác định.
U

Bước 3.Lập bảng biến thiên.
Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
• Quy tắc 2:
Bước 1.Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2.Tính f ′( x) . Giải phương trình f ′( x) và ký hiệu xi (i =1, 2, 3,...) là các nghiệm của nó.
U

Bước 3.
Tính f ′′( x) và f ′′( xi ) .
Bước 4.Dựa vào dấu của f ′′( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .
2
3.2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm
+ bx
bậc
+ cx
ba
+ d ( a ≠0)
y =ax3số

Ta có y′ =3ax2 + 2bx+ c
• Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y′ =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b−2 3ac> 0
 2c 2b2 
bc
. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : y = −
.
 x+ d −
9a
 3 9a 
• Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
 x b  x=i
ax3 + bx2 + cx+ d −(3ax2 + 2bx+ c)  +  →
+ Ai B ⇒ =
y Ax+ B
 3 9a 
y′.y′′
Hoặc sử dụng công thức y −
.
18a
• Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:
4e+ 16e3
b2 −3ac
với e =
a
9a
3.3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số: y =ax4 + bx2 + c (a ≠0 ) có đồ thị là (C ) .
AB =

 x =0
y′ =4ax + 2bx; y′ =0 ⇔  2
 x = −b
2a

3

(C ) có ba điểm cực trị

b
y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ − > 0 .
2a



∆ 
∆ 
b
b
Khi đó ba điểm cực trị là: A(0; c) , B  − − ; −  , C  − ; −  với ∆ =b2 −4ac
2a 4a 
2a 4 a 


3

b4
b
b
Độ dài các đoạn thẳng: AB = AC =
− , BC =2 − .
2
16a 2a
2a
Các kết quả cần ghi nhớ:
• ∆ ABC vuông cân ⇔ BC2 = AB2 + AC2
 b4

2b
b
b4
b
b  b3
b3
⇔ − =2 
−
⇔
+
=
0
⇔
+
1
=
0
⇔
+ 1 =0



2
a
16a2 2a
2 a  8a 
8a
 16a 2a 
• ∆ ABC đều ⇔ BC2 = AB2

2b b4
b
b4
3b
b  b3
b3
⇔ − =
−
⇔
+
=
0
⇔
+
3
=
0
⇔
+ 3 =0


a 16a2 2a 16a2 2a
2a  8a 
8a
•

b3 + 8a
8a
α

BAC = α , ta có: cos α = 3
⇔ tan = −3
2
b −8a
b

b2
b
• S∆ABC =
−
4a
2a
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là R =

• Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC là r =

b3 −8a
8ab
b2
b
−
4a
2a

b4
b
b
− + −
2
16a 2a
2a

=

b2
4 a + 16a2 −2ab3

2 ∆

2 ∆ 
• Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là: x2 + y2 − − + c y + c −  =0
 b 4a 
 b 4a 

II. LUYỆN TẬP
A. Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1:Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
1/ y =x4 + 8 x2 + 5 ;
3/ y =

x2 + x−1
;
x−2

2/ y =

2 x−3
4 −x

4/ y = 25 −x2

1
3

Bài 2:Cho hàm số y = (m−1)x3 + mx2 + (3m−2)x (1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
y ′=R.
(m−1)x2 + 2mx+ 3m−2 .
HD giải. Tập xác định: D =

(1) đồng biến trên
⇔Ry′≥0,∀x ⇔ m≥2
Bài 3:Cho hàm số y = x3 + 3x2 −mx−4
(1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
y ′=
3x2 + 6x −m. y′có ∆′ =3(m+ 3).
HD giải. Tập xác định: D =
R.

+ Nếum≤ −
3 thì ∆′ ≤0 ⇒ y′ ≥0,∀x ⇒ hàm số đồng biến trên
R≤ −
3 thoả YCBT.
⇒m

+ Nếum> −
3 thì ∆′ > 0 ⇒ PT y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt
x1, x2 (x1 < x2) . Khi đó hàm số đồng biến
trên các khoảng
(−∞; x1),(x2; +∞) .
4

 ∆′ > 0
m> −
3


Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
(−∞; 0) ⇔ 0≤ x1 < x2 ⇔  P ≥0 ⇔ −m≥0 (VN)
S > 0

−2 > 0

Vậy: m≤ −
3.
Bài 4:
Cho hàm số y = −
2x3 + 3mx2 −1 (1).
Tìm các giá trị của mđể hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1; x2) với x2 −x1 =1.
6x2 + 6mx, y' =0 ⇔ x
HD giải.y' = −
= 0∨ x =m.

+ Nếu m =⇒0 y≤′ 0,∀x ∈  ⇒ hàm số nghịch biến trên
 ⇒ m = 0 không thoả YCBT.
+ Nếum≠0 , y′ ≥0,∀x ∈ (0;m) khi m> 0 hoặcy′ ≥0,∀x ∈ (m; 0)khi m< 0 .
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng
(x1; x2) với x2 −x1 =1.
 (x ; x ) =(0;m)
và x2 −x1 =1⇔
⇔ 1 2
 (x1; x2 ) =(m; 0)

 m−0 =1
= ±1
 0 −m=1⇔ m

B. Cực trị của hàm số
Bài 1:Tìm cực trị của các hàm số:
1
1) y = x3 −4 x
3

x2 −3x
x+ 1
x2 −2x + 2
5) y =
x −1
3) y =

1 4
x −4 x2 −1
4
2 x+ 7
4) y =
4 x+ 3
x+ 3
6) y =
x −4
2) y =

Bài 2:Tìm m để hàm số:
1) y =

x2 + mx+ 1
đạt cực đại tại x = 2
x+ m

2) y =

x2 −mx+ m−1
đạt cực tiểu tại x = 1
x+1

x2 + 2 x + m
đạt cực tiểu tại x = 2
x+1
4) y =mx3 + 3x2 + 5 x+ m đạt cực tiểu tại x = 2
3) y =

1
3

3

2

5) y = mx + ( m−2) x + ( 2 −m) x + 2 đạt cực đại tại x = –1
Bài 3:Cho hàm số y =2x2 −3(m+ 1)x2 + 6mx+ m3 .
Tìm mđể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB = 2 .
y′ =6(x −1)(x −m) . Hàm số có CĐ, CT
m≠1.
HD giải. Ta có:
biệt
⇔ y′ =0 có 2 nghiệm phân ⇔
Khi đó các điểm cực trị
A(1;
làm3 + 3m−1),B(m;3m2) .
AB = 2 ⇔ (m−1)2 + (3m2 −m3 −3m+ 1)=2 ⇔ m=0; m=2 (thoả điều kiện).

Bài 4:Cho hàm số y = x3 −3(m+ 1)x2 + 9x −m, với m là tham số thực.
Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 −x2 ≤2 .
y' =3x2 −6(m+ 1)x + 9.
HD giải. Ta có

+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu
x1, xtại
biệt
2 ⇔ PT y '=0 có hai nghiệm phân x
1, x2
5

⇔ PT x2 −2(m+ 1)x + 3 =0 có hai nghiệm phân biệt
x1, là
x2 .

 m> −
1 +3
⇔ ∆ ' =(m+ 1)2 −3 > 0 ⇔ 
1 −3
 m< −

(1)

+ Theo định lý Viet tax1có
+ x2 =2(m+ 1);x1 x2 =3. Khi đó:
2

2

x1 −x2 ≤2 ⇔ ( x1 + x2 ) −4x1x2 ≤4 ⇔ 4(m+ 1) −12≤4 ⇔ (m+ 1)2 ≤4 ⇔ −3 ≤m≤1 (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần
−3tìm
≤m 1 − 3 và −1 + 3 < m≤1.

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
x+1
Câu 1. Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
1 −x
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ∪ (1;+∞) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) ∪ (1;+∞) .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1;+∞) .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞) .
Câu 2. Cho hàm số y = −
x3 + 3x2 −3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1;+∞) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞) .
D. Hàm số luôn đồng biến trên  .
Câu 3. Cho hàm số y = −
x4 + 4 x2 + 10 và các khoảng sau:
(I):

(−∞; − 2 ) ;

(II):

(− 2; 0) ;

Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I).
B. (I) và (II).

(III):

(0; 2 ) ;

C. (II) và (III).

D. (I) và (III).

3 x −1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
−4 + 2 x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; 2) và (2;+∞) .

Câu 4. Cho hàm số y =

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) và (−2; +∞) .
Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên  ?
A. h( x) = x4 −4 x2 + 4 .

B. g( x) = x3 + 3 x2 + 10 x + 1 .

4
4
C. f ( x) = − x5 + x3 −x.
5
3

D. k( x) = x3 + 10 x −cos 2 x .

x2 −3 x + 5
nghịch biến trên các khoảng nào ?
x+ 1
A. (−∞; −
4) và (2; +∞) .
B. (−4; 2) .

Câu 6. Hàm số y =

6

C. (−∞; −
1) và (−1;+∞) .

D. (−4; −1) và (−1; 2) .

3
Câu 7. Hàm số y = x5 −3 x4 + 4 x3 −2 đồng biến trên khoảng nào?
5
A. (−∞; 0).
B.  .
C. (0; 2).

D. (2; +∞) .

Câu 8. Cho hàm số y =ax3 + bx2 + cx+ d . Hàm số luôn đồng biến trên  khi nào?
 a =b =0, c > 0
A. 
.
2
 a > 0; b −3ac≤0
 a =b =0, c > 0
C. 
.
2
 a < 0; b −3ac≤0

 a =b =0, c > 0
B. 
.
2
 a > 0; b −3ac≥0
 a =b =c =0
D. 
.
2
 a < 0; b −3ac< 0

Câu 9. Cho hàm số y = x3 + 3 x2 −9 x + 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;1) .
B. Hàm số đồng biến trên  .
C. Hàm số đồng biến trên (−9; −5 ) .
D.Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞) .
Câu 10.Tìm điều kiện để hàm số y =ax4 + bx2 + c (a ≠0) có 3 điểm cực trị .
A. ab< 0.

B. ab> 0.

C. b=0.

D. c =0.

Câu 11.Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên:
x −∞
y′

+

2
0

−

4
0

−∞
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x=2 .
C.Hàm số đạt cực đại tại x=4 .

+
+∞

3

y

+∞

−2
B. Hàm số đạt cực đại tại x=3 .
D.Hàm số đạt cực đại tại x = −.
2

Câu 12.Cho hàm số y = x3 −3 x2 + 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x=2 và đạt cực tiểu tại x=0 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và đạt cực đại x=0 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x= −và
2 cực tiểu tại x=0 .
D.Hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x= −.
2
Câu 13.Cho hàm số y = x4 −2 x2 + 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số không có cực trị.

B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị.
D.Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.

Câu 14.Biết đồ thị hàm số y = x3 −3x + 1 có hai điểm cực trị A, B. Viết phương trình đường
thẳng AB.
A. y = x −2.

B. y =2 x −1.

2 x + 1.
C. y = −

D. y = −
x +2.
7

Câu 15.Gọi M ,n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số

y=

x2 + 3 x + 3
. Tính giá
x+ 2

trị của biểu thức M 2 −2n ?
A. M 2 −2n =8.

B. M 2 −2n =7.

C. M 2 −2n =9.

D. M 2 −2n =6.

Câu 16.Cho hàm số y = x3 + 17 x2 −24 x + 8 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. xCD =1.

2
B. xCD = .
3

C. xCD = −
3.

D. xCD = −
12.

Câu 17.Cho hàm số y =3 x4 −6 x2 + 1 . Kết luận nào sau đây là đúng?
2.
A. yCD = −

B. yCD =1.

1.
C. yCD = −

Câu 18.Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x=

D. yCD =2.

3
?
2

1
A. y = x4 −x3 + x2 −3 x.
2

B. y = −x2 + 3 x −2.

C. y = 4 x2 −12 x −8.

D. y =

x −1
.
x+ 2

Câu 19.Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
A. y = −
10 x4 −5 x2 + 7.
B. y = −
17 x3 + 2 x2 + x + 5.
C. y =

x −2
.
x+ 1

D. y =

x2 + x + 1
.
x −1

Câu 20.Cho hàm số y = x3 −6 x2 + 4 x −7 . Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
x1 , x2 . Tính x1 + x2 ?
6.
A. x1 + x2 = −

4.
B. x1 + x2 = −

C. x1 + x2 =6.

D. x1 + x2 =4.

Câu 21.Tính hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 −3x2 + 4 .
D. −4 .

B. −2 .

C. 2 .

A. 4 .

Câu 22.Xác định hàm số y =ax3 + bx2 + cx+ d . Biết đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ
và điểm A( −1;−1) .
A. y =2 x3 −3 x2 .

B. y = −
2 x3 −3 x2 .

C. y = x3 + 3x2 + 3 x.

D. y = x3 −3 x −1 .

Câu 23.Hàm số nào dưới đây có cực trị?
A. y = x4 + 1 .
C. y =2 x −1 .

B. y = x3 + x2 + 2 x −1 .
D. y =

x+1
.
2 x −1

Câu 24.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 −(3m−1) x2 + 2m+ 1 có ba điểm
cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm
tròn.
A.m=3.

B.m=1.

D (7;3 ) nội tiếp được một đường

C.m= −
1.

D.Không tồn tại m.
8

Câu 25.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x4 −2mx2 + m−1 có ba điểm
cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn
ngoại tiếp bằng 1.
 m=1
 m=1
−1 + 5

A.
.
B.
.
C.m= ±
.
D. m=1.
−
+
−
+
1
5
1
5
 m= ±
 m=
2


2
2
IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
D

2
A

3
D

4
B

5
C

6
D

7
D

8
B

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A D A B A A D B B B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B C C A B

Buổi 2.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
Chủ đề 3+4.

HÀM SỐ VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên miền D
 f ( x) ≤M , ∀x ∈ D
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu: 
.
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) =M
Kí hiệu: M =max f ( x) hoặc M =max f ( x) .
x∈D

D

 f ( x) ≥m, ∀x ∈ D
• Số mgọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu: 
.
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) =m
Kí hiệu: m=min f ( x) hoặc m=min f ( x)
x∈D

D

2. Kĩ năng cơ bản
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
y = f (số
x) liên tục trên K (K có thể là khoảng,

đoạn, nửa khoảng, ...)
2.1Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng bi
Tính đạo hàm f ′( x) .
 Bước 1.
 Bước 2.
Tìm các nghiệm của f ′( x) và các điểm f ′( x) trên K.
 Bước 3.
Lập bảng biến thiên của f ( x) trên K.
Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min f ( x), max f ( x)
 Bước 4.
K

K

2.2Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng b
thiên
 Trường hợpTập
1. K là đoạn [a; b]
 Bước 1.Tính đạo hàm f ′( x) .
9

 Bước 2.Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [ a; b] của phương trình f ′( x) =0 và tất cả các
điểm αi ∈ [a; b] làm cho f ′( x) không xác định.
 Bước 3.Tính f (a) , f (b) , f ( xi ) , f ( αi ) .
 Bước 4.So sánh các giá trị tính được và kết luận M =max f ( x) , m=min f ( x) .
[ a; b]

[ a; b]

 Trường hợpTập
2. K là khoảng (a; b)
 Bước 1.Tính đạo hàm f ′( x) .
 Bước 2.Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ ( a; b) của phương trình f ′( x) =0 và tất cả các
điểm αi ∈ (a; b) làm cho f ′( x) không xác định.
 Bước 3.Tính A = lim+ (f x) , B = lim− (f x) , f ( xi ) , f ( αi ) .
x→ a

x→ b

 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M =max f ( x) , m=min f ( x) .
( a; b)

( a; b)

 Chú ý:Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớ
nhất (nhỏ nhất).

B.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Đường tiệm cận ngang
• Cho hàm số
( a; +∞dạng
) , (−∞; b)
y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng

) Đường thẳng
hoặc(−∞; +∞).
y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của
đồ thị hàm số
y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim f ( x) = y0 , lim f ( x) = y0

x→+∞

x→−∞

Nhận xét
: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của
hàm số đó tại vô cực.
2. Đường tiệm cận đứng
• Đường thẳng
x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
•

y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim (f x) = +∞
, lim− (f x) = −∞
, lim+ (f x) = −∞
, lim− (f x) = +∞.

x→ x0+

x→ x0

x→ x0

x→ x0

Ngoài ra cần nhớ các kiến thức về giới hạn sau:
3) Quy tắc tìm giới hạn vô cực
( x).g( x) : Nếulim (f x) = L ≠0 và lim (g x) = +∞(hoặc−∞) thì
Quy tắc tìm giới hạn của ftích
x→ x0

x→ x0

lim (f x) g( x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau

x→ x0

lim (f x)

x→ x0

L >0
L<0

lim (g x)

x→ x0

+∞
−∞
+∞
−∞

lim (f x) g( x)

x→ x0

+∞
−∞
−∞
+∞

f ( x)
Quy tắc tìm giới hạn của thương: Nếulim (f x) = L ≠0 và lim (g x) = +∞(hoặc−∞) thì
x→ x0
x→ x0
g( x)
lim (f x) g( x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau

x→ x0

10

lim (f x)

Dấu củag( x)

lim (g x)

x→ x0

x→ x0

0
L >0

lim

x→ x0

f ( x)
g( x)

Tùy ý
0
+
+∞
−∞
−
0
L<0
+
−∞
−
+∞
(Dấu của g( x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x0 )
±∞

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0 + , x → x0 −, x → +∞ và x → −∞.
+) Nếu x → +∞ ⇒x> 0 ⇒

x 2 = x =x

+) Nếu x → −∞ ⇒x < 0 ⇒

x2 = x = −
x

II. LUYỆN TẬP
́
́
́
A. Gia
lớ
n nhâ
t va
nho
t cu
a ha
m sô
̉nhâ
̉
́trị
̀gia
́trị
̀
Bài 1:Tı̀
m giátri ̣
lớn nhấ
t vàgiátri ̣
nhỏnhấ
t của cá
c hà
m sốsau:
3
2
.
a/ y  f x 3x  x  7x  1 trên đoaṇ 
0;2


3
2

b/ y  f x x  8x  16x  9 trên đoaṇ 
3.
1; 


.
c/ y  f x  2x4  4x2  3 trên đoaṇ 
0;2


3
2
.
d/ y  f x 2x  6x  1trên đoaṇ 
 1;1


.
a/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y  f x 3x3  x2  7x  1 trên 
HD giải.
0;2


U

U

.
 Hà
m sốđãcho liên tuc̣vàxá
c đinh
̣ trên đoaṇ
0;2


 Ta có: y '  f 'x 9x  2x  7  y '  0  9x  2x  
7
2

2

 Tı́
nh
f 0 1;f 2  9;f 1  6

x  
0;2 N 
 

 1 
0 
7
x    0;2 L 

 

9 


maxf (x)  1 khi x  0


 [ 0;2]
 

minf( x)   9 khi x  2



 [ 0;2]

b/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y  f x x3  8x2  16x  9 trên 
3.
1; 



m sốđãcho liên tuc̣vàxá
c đinh
 Hà
̣ trên đoaṇ
3.
1; 


 Ta có:
x  4  1; 
3 L 


 

2
2

y '  f 'x 3x  16x  16 y '  0  3x  16x  16 0 
x  4  1; 
3 N 

 

3 

U

U

nh:
 Tı́

11

4
13

f 1 0;f 3  6;f 



3 27

13
4


maxf (x) 
khi x 

[1;3]

27
3
 

minf( x)   6 khi x  3



 [1;3]

.
c/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y  f x  2x4  4x2  3 trên 
0;2


U

U

.
 Hà
m sốđãcho liên tuc̣vàxá
c đinh
̣ trên đoaṇ
0;2


x  0  0;2 N 
 




 L .
 Ta có: y '  f 'x  8x3  8x  y '  0   8x3  8x  0  x   1
 
0;2

 


 N 
1 
0;2
x  

 


 Tı́
nh:
f 0 3;f 2  13;f 1 5
maxf x 5 khi x  1



 0;2
 


minf x  13 khi x  2


 


 0;2
.
d/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y  f x 2x3  6x2  1 trên 
 1;1


U

U

.
 Hà
m sốđãcho liên tuc̣vàxá
c đinh
̣ trên đoaṇ
 1;1



x  0  
 1;1 N 




 Ta có: y '  f 'x 6x2  12x  y '  0  6x2  12x  0  
x  2   1;1 L .




 

 Tı́
nh:
f  1  7;f 1  3;f 0 1


maxf x 1 khi x  0


 1;1




 
  

min
f
x  7 khi x   1






  1;1
Bài 2:Tı̀
m giátri ̣
lớn nhấ
t vàgiátri ̣
nhỏnhấ
t của cá
c hà
m sốsau:
a/ y  x 

4
, x  0.
x

b/ y 

x 1
.
x2  
x 1

c/ y  x 

1
, x  0;2

.
x

d/ y 

x  1  9x2
, x  0.
8x2  1

HD giải.
a/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y  x 
U

U

4
, x  0
x

* Hà
m sốđãcho xá
c đinh
̣ vàliên tuc̣trên 0; .
∗ Ta có: y '  
1

4
x2  4

, x  0; 
x2
x2

y '  0  x2  
4

0  x

2.

∗ Bả
ng biế
n thiên:
12

x
y'

0

2
 0



2
0





y
4

∗Dưạvà
o bả
ng biế
n thiên  minf x 4 khi x  2 vàhà
m sốkhông cógiátri ̣
lớn nhấ
t.
0; 

x 1
x 
x 1
∗Hàm sốđãcho xá
c đinh
̣ vàliên tuc̣trên D   .

b/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y 
U

2

U

∗Ta có: y ' 

x

2




x

∗Bả
ng biế
n thiên:
x 

y'
y

x  0
2


y
'

0


x

2
x

0

x  2
2

1


 x2  2x

0


2

0



0



1
3

0
1

0
∗Dưạvà
o bả
ng biế
n thiên, ta đươc:
̣ maxy 


1
1
khi x  0vàminy 
khi x  2.

3
3

1
, x  0;2


x
∗Hàm sốđãcho xá
c đinh
̣ vàliên tuc̣trên 0;2

.
1
x2  1
∗Ta có: y '  
.
1

, x  0;2


x2
x2
∗Cho y '  0  x2  1
 0  x
1.
∗Bả
ng biế
n thiên:

c/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y  x 
U

U

1
x 

0
y'

0


1
0

2





3
2

y

0

∗Dưạvà
o bả
ng biế
n thiên: minf x 0 khi x  1.
0;2

d/ Tı̀
m max – min của hà
m số: y 
U

U

x  1  9x2
, x  0
8x2  1
13

m sốđãcho xá
c đinh
ng 0, .
 Hà
̣ vàliên tuc̣trên khoả
 Ta có: y  f x

x  1  9x2
9x2  
1 x2

8x2  1
8x2  1 9x2  
1







x



1
9x2  
1

x

.

 Hà
m sốy  f xđaṭgiátri ̣
lớn nhấ
t trên khoả
ng 0, khi vàchı̉khi hà
m số:
gx 

nhỏnhấ
t trên khoả
ng 0, .
x đaṭgiátri ̣

9x2  
1

 Ta cóg 'x

9x
9x  1

 Vây:
) 
̣ ming( x
0; 

Bài 3:

2

g 'x 0 

1


9x2  
1


x  0
9x  
 x
 2

72

1
x




1
62

.

22
1
1
32
1
khi x 
 maxf (x) 

khi x 
.
0; 
3
4
62
22
62
3

a/ Chu vi của môṭtam giá
c là16cm, đô ̣dà
i của môṭcanh
c là6cm. Tı̀
m hai canh
̣ tam giá
̣
còn laịcủa tam giá
c sao cho tam giá
c códiêṇtı́
ch lớn nhấ
t.
. Xác đinh
b/ Cho Parabol P : y  x2 vàđiể
m A  3; 0
̣ điể
m M  (P ) sao cho khoả
ng
cá
ch AM làngắn nhấ
t. Tı̀
m khoả
ng cá
ch đó.
HD giải.
a/ Goịđô ̣dà
i canh
t của tam giá
c làx cm, canh
i lày cm và
̣ thứnhấ
̣ thứhai cóđô ̣dà
canh
̣ thứba là6cm.

 x  0, y  0
y  10 x; x  0;10

i ta có: 
 Theo đềbà
 



Chu vi   2p  x  
y  6 16 
p  16




 Công thức tı́
nh diêṇtı́
ch Δ theo Hêrông:
S x pp  xp  yp  6  88  x8  y8  6  4  x2  10x  16.
 Ta có: S'  4.
S'  0  4.

5  x

; x  0;10.
 x2  10x  16

5  x

 x2  10x  16
ng biế
n thiên:
 Bả
x



 x

5; x  0;10.

0

5
+

S'

0

10



–

12
S (x)

 

 Dự
a và
o bả
ng biế
n thiên: MaxS  12 cm2 khi mỗ
i canh
̣ còn laị
dà
i 5cm; khi x  y  5.





b/GoịM 
x o;yo  (P )  M x o;xo2 .
14

 Khoả
ng cá
ch: AM  d xo 

x

o

2xo3  xo  3

 Ta có: d 'xo 

4
o

2
o

2

x  x  6xo  9

2



xo4  xo2  6xo  9 .

; d 'xo  0  2xo3  xo  
3

ng biế
n thiên:
 Bả

xo
d 'xo 

 

 3  xo2

0  xo   1.

1


0








AM  d xo 
5
Dự
a và
o bả
ng biế
n thiên: AM min 

m M  1;1 P : y  x2 .
5 khi điể

II. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1) Tìm giới hạn theo quy tắc
Ví dụ .1Tìm lim (x3 −2 x) .
x→−∞

2 
2 


Giải. Ta có lim (x3 −2 x) = lim x3  1 − 2  = −∞(vì lim x3 = −∞và lim 1 − 2  =1 > 0 ).
x→−∞
x→−∞
→−∞
x
→−∞
x
x 
x 


Ví dụ .2Tìm lim

x→+∞

2 x3 −5 x2 + 1
.
x2 −x + 1

5 1

 2 − x + x2
2 x3 −5 x2 + 1
= lim  x.
Giải. Ta có lim
x→+∞
x→−∞
x2 −x + 1
 1 − 1 + 1
x x2




x = +∞và
 = +∞(vì xlim
→+∞



5 1

 2 − x + x2
lim 
x→+∞
 1 −1 + 1
x x2




 =2 > 0 )


2 x −3
Ví dụ .3Tìm lim+
.
x→ 1
x −1
Giải. Ta có lim(
x −1) =0 , x−1 > 0 ∀x > 1 và lim(2
x −3) = −
1 <0 . Do đó lim+
+
+
x→ 1

Ví dụ .4Tìm lim−
x→ 1

x→ 1

x→ 1

2 x −3
= −∞
.
x −1

2 x −3
.
x −1

1 <0 . Do đó lim+
Giải. Ta có lim(
x −1) =0 , x−1 < 0 ∀x < 1 và lim(2
x −3) = −
−
−
x→ 1

x→ 1

x→ 1

2 x −3
= +∞.
x −1

2) Kĩ năng sử dụng máy tính
Ý tưởng
: Giả sử cần tính
lim (f x) ta dùng chức năng CALC để tính giá ftrị
( x)của
tại các giá
x→ a

trị củax rất gầna.
a) Giới hạn của hàm số tại một điểm
lim+ (f x) thì nhậpf ( x) và tính giá trị tại
x =a + 10−9 .
x→ a

15