Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bài 12 (SGK trang 15)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\3x-4y=2\end{matrix}\right.;\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}7x-3y=5\\4x+y=2\end{matrix}\right.;\) c) \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y=-2\\5x-4y=11\end{matrix}\right..\)
Hướng dẫn giải
Từ x - y = 3 => x = 3 + y.
Thay x = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2.
Ta được 3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2.
⇔ -y = -7 ⇔ y = 7
Thay y = 7 vào x = 3 + y ta được x = 3 + 7 = 10.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7).
b) Từ 4x + y = 2 => y = 2 - 4x.
Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5.
Ta được 7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5.
⇔ 19x = 11 ⇔ x =
Thay x = vào y = 2 - 4x ta được y = 2 - 4 .
= 2 -
= -
Hệ phương trình có nghiệm (; -
)
c) Từ x + 3y = -2 => x = -2 - 3y.
Thay vào 5x - 4y = 11 ta được 5(-2 - 3y) - 4y = 11
⇔ -10 - 15y - 4y = 11
⇔ -19y = 21 ⇔ y = -
Nên x = -2 -3(-) = -2 +
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm (; -
).
Bài 13 (SGK trang 15)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=11\\4x-5y=3\end{matrix}\right.;\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\\5x-8y=3\end{matrix}\right..\)
Hướng dẫn giải
a) Từ phương trình thứ nhất ta có y = \(\dfrac{3x-11}{2}\). Thế vào y trong phương trình thứ hai:
4x - 5\(\dfrac{3x-11}{2}\) = 3 ⇔ -7x = -49 ⇔ x = 7.
Từ đó y = 5. Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5)
b) Từ phương trình thứ nhất ta có: x = \(\dfrac{2y+6}{3}\)
Thế vào x trong phương trình thứ hai:
5 . \(\dfrac{2y+6}{3}\) - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = \(\dfrac{3}{2}\)
Từ đó: x = \(\dfrac{2.\dfrac{3}{2}+6}{3}=3\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; \(\dfrac{3}{2}\)).
Bài 14 (SGK trang 15)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y\sqrt{5}=0\\x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.;\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-\sqrt{3}\right)x-3y=2+5\sqrt{3}\\4x+y=4-2\sqrt{3}\end{matrix}\right..\)
Hướng dẫn giải
a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = -y.
Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:
-y .
+ 3y = 1 -
⇔ -2y = 1 -
⇔ y =
Từ đó: x - .
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y) =
b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 - 2 - 4x.
Thế vào y trong phương trình thứ hai được
(2 - )x - 3(4 - 2
- 4x) = 2 + 5
⇔ (14 - )x = 14 -
⇔ x = 1
Từ đó y = 4 - 2 - 4 . 1 = -2
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
(x; y) = (1; -2)
Bài 15 (SGK trang 15)
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y=1\\\left(a^2+1\right)x+6y=2a\end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1.
Hướng dẫn giải
a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình ⇔
Hệ phương trình vô nghiệm.
b) Khi a = 0, ta có hệ
Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 - 3y.
Thế vào x trong phương trình thứ hai, được:
1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -
Từ đó x = 1 - 3(-) = 2
Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; -).
c) Khi a = 1, ta có hệ ⇔
⇔
Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 16 (SGK trang 16)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=5\\5x+2y=23\end{matrix}\right.;\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y=1\\2x-y=-8\end{matrix}\right.;\) c) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\\x+y-10=0\end{matrix}\right..\)
Hướng dẫn giải
a, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=5\\5x+2y=23\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-5+3x\\5x+2\left(-5+3x\right)=23\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-5\\11x=33\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3.3-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\end{matrix}\right.\)
vậy hệ PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x;y)=(3;4)
b, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y=1\\2x-y=-8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8+2x\\3x+5\left(8+2x\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8+2x\\13x=-39\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=8+2.\left(-3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=2\end{matrix}\right.\)
vậy hệ PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x;y)=(-3;2)
c,ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\\x+y-10=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10-y\\3\left(10-y\right)=2y\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10-y\\-5y=-30\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=10-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\)
vậy hệ PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất là (x;y)=(4;6)
Bài 17 (SGK trang 16)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{matrix}\right.; \)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{matrix}\right.; \)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2}\\x+(\sqrt{2}+1)y=1\end{matrix}\right.. \)
Hướng dẫn giải
a)
Từ phương trình (2) ⇔ x = √2 - y√3 (3)
Thế (3) vào (1): ( √2 - y√3)√2 - y√3 = 1
⇔ √3y(√2 + 1) = 1 ⇔ y = =
Từ đó x = √2 - . √3 = 1.
Vậy có nghiệm (x; y) = (1; )
b)
Từ phương trình (2) ⇔ y = 1 - √10 - x√2 (3)
Thế (3) vào (1): x - 2√2(1 - √10 - x√2) = √5
⇔ 5x = 2√2 - 3√5 ⇔ x =
Từ đó y = 1 - √10 - . √2 =
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ;
c)
Từ phương trình (2) ⇔ x = 1 - (√2 + 1)y (3)
Thế (3) vào (1): (√2 - 1)[1 - (√2 + 1)y] - y = √2 ⇔ -2y = 1 ⇔ y = -
Từ đó x = 1 - (√2 + 1)(-) =
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (; -
)
Bài 18 (SGK trang 16)
a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x+by=-4\\bx-ay=-5\end{matrix}\right.\) có nghiệm là (1;-2).
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm là \(\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}\right).\)
Hướng dẫn giải
a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra
⇔
⇔
⇔
b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2), có nghĩa là xảy ta
⇔
⇔ ⇔
⇔
Bài 19 (SGK trang 16)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x - 3:
\(P\left(x\right)=mx^3+\left(m-2\right)x^2-\left(3n-5\right)x-4n.\)
Hướng dẫn giải
P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.
P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.
⇔
⇔
⇔