Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Mục lục

* * * * *

Bài 12 (SGK trang 15)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\3x-4y=2\end{matrix}\right.;$ b) $\left\{{}\begin{matrix}7x-3y=5\\4x+y=2\end{matrix}\right.;$ c) $\left\{{}\begin{matrix}x+3y=-2\\5x-4y=11\end{matrix}\right..$

Hướng dẫn giải

Từ x - y = 3 => x = 3 + y.

Thay x = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2.

Ta được 3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2.

⇔ -y = -7 ⇔ y = 7

Thay y = 7 vào x = 3 + y ta được x = 3 + 7 = 10.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7).

b) Từ 4x + y = 2 => y = 2 - 4x.

Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5.

Ta được 7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5.

⇔ 19x = 11 ⇔ x = $\frac{11}{19}$

Thay x = $\frac{11}{19}$ vào y = 2 - 4x ta được y = 2 - 4 . $\frac{11}{19}$ = 2 - $\frac{44}{19}$ = - $\frac{6}{19}$

Hệ phương trình có nghiệm ( $\frac{11}{19}$ ; - $\frac{6}{19}$ )

c) Từ x + 3y = -2 => x = -2 - 3y.

Thay vào 5x - 4y = 11 ta được 5(-2 - 3y) - 4y = 11

⇔ -10 - 15y - 4y = 11

⇔ -19y = 21 ⇔ y = - $\frac{21}{19}$

Nên x = -2 -3(- $\frac{21}{19}$ ) = -2 + $\frac{63}{19}$ = $\frac{25}{19}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( $\frac{25}{19}$ ; - $\frac{21}{19}$ ).

Bài 13 (SGK trang 15)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=11\\4x-5y=3\end{matrix}\right.;$ b) $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\\5x-8y=3\end{matrix}\right..$

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có y = $\dfrac{3x-11}{2}$. Thế vào y trong phương trình thứ hai:

4x - 5$\dfrac{3x-11}{2}$ = 3 ⇔ -7x = -49 ⇔ x = 7.

Từ đó y = 5. Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5)

b) Từ phương trình thứ nhất ta có: x = $\dfrac{2y+6}{3}$

Thế vào x trong phương trình thứ hai:

5 . $\dfrac{2y+6}{3}$ - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = $\dfrac{3}{2}$

Từ đó: x = $\dfrac{2.\dfrac{3}{2}+6}{3}=3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; $\dfrac{3}{2}$).

Bài 14 (SGK trang 15)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{{}\begin{matrix}x+y\sqrt{5}=0\\x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.;$ b) $\left\{{}\begin{matrix}\left(2-\sqrt{3}\right)x-3y=2+5\sqrt{3}\\4x+y=4-2\sqrt{3}\end{matrix}\right..$

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = -y $\sqrt{5}$ .

Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:

-y $\sqrt{5}$ . $\sqrt{5}$ + 3y = 1 - $\sqrt{5}$ ⇔ -2y = 1 - $\sqrt{5}$

⇔ y = $\frac{\sqrt{5}- 1}{2}$

Từ đó: x - $(\frac{\sqrt{5}- 1}{2})$ . $\sqrt{5}$ = $\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y) = $(\frac{-5+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+ \sqrt{5}}{2})$

b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 - 2 $\sqrt{3}$ - 4x.

Thế vào y trong phương trình thứ hai được

(2 - $\sqrt{3}$ )x - 3(4 - 2 $\sqrt{3}$ - 4x) = 2 + 5 $\sqrt{3}$

⇔ (14 - $\sqrt{3}$ )x = 14 - $\sqrt{3}$ ⇔ x = 1

Từ đó y = 4 - 2 $\sqrt{3}$ - 4 . 1 = -2 $\sqrt{3}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

(x; y) = (1; -2 $\sqrt{3}$ )

Bài 15 (SGK trang 15)

Giải hệ phương trình $\left\{{}\begin{matrix}x+3y=1\\\left(a^2+1\right)x+6y=2a\end{matrix}\right.$ trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1.

Hướng dẫn giải

a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình vô nghiệm.

b) Khi a = 0, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 6y = 0 & & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 - 3y.

Thế vào x trong phương trình thứ hai, được:

1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = - $\frac{1}{3}$

Từ đó x = 1 - 3(- $\frac{1}{3}$ ) = 2

Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; - $\frac{1}{3}$ ).

c) Khi a = 1, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = 1& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = 1 -3y& & \\ y \in R& & \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 16 (SGK trang 16)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{{}\begin{matrix}3x-y=5\\5x+2y=23\end{matrix}\right.;$ b) $\left\{{}\begin{matrix}3x+5y=1\\2x-y=-8\end{matrix}\right.;$ c) $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\\x+y-10=0\end{matrix}\right..$

Hướng dẫn giải

a, ta có $\left\{{}\begin{matrix}3x-y=5\\5x+2y=23\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-5+3x\\5x+2\left(-5+3x\right)=23\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-5\\11x=33\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3.3-5\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\end{matrix}\right.$

vậy hệ PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x;y)=(3;4)

b, ta có $\left\{{}\begin{matrix}3x+5y=1\\2x-y=-8\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8+2x\\3x+5\left(8+2x\right)=1\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8+2x\\13x=-39\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=8+2.\left(-3\right)\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=2\end{matrix}\right.$

vậy hệ PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x;y)=(-3;2)

c,ta có $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\\x+y-10=0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10-y\\3\left(10-y\right)=2y\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10-y\\-5y=-30\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=10-6\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.$

vậy hệ PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất là (x;y)=(4;6)

Bài 17 (SGK trang 16)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{matrix}\right.; $

b) $\left\{{}\begin{matrix}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{matrix}\right.; $

c) $\left\{{}\begin{matrix}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2}\\x+(\sqrt{2}+1)y=1\end{matrix}\right.. $

Hướng dẫn giải

a) $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình (2) ⇔ x = √2 - y√3 (3)

Thế (3) vào (1): ( √2 - y√3)√2 - y√3 = 1

⇔ √3y(√2 + 1) = 1 ⇔ y = $\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}$ = $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$

Từ đó x = √2 - $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$ . √3 = 1.

Vậy có nghiệm (x; y) = (1; $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$ )

b) $\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình (2) ⇔ y = 1 - √10 - x√2 (3)

Thế (3) vào (1): x - 2√2(1 - √10 - x√2) = √5

⇔ 5x = 2√2 - 3√5 ⇔ x = $\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}$

Từ đó y = 1 - √10 - $(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5})$ . √2 = $\frac{1 - 2\sqrt{10}}{5}$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = $(\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\frac{1 - 2\sqrt{10}}{5})$ ;

c) $\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình (2) ⇔ x = 1 - (√2 + 1)y (3)

Thế (3) vào (1): (√2 - 1)[1 - (√2 + 1)y] - y = √2 ⇔ -2y = 1 ⇔ y = - $\frac{1}{2}$

Từ đó x = 1 - (√2 + 1)(- $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ( $\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ )

Bài 18 (SGK trang 16)

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình $\left\{{}\begin{matrix}2x+by=-4\\bx-ay=-5\end{matrix}\right.$ có nghiệm là (1;-2).

b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm là $\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}\right).$

Hướng dẫn giải

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra

$\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4& & \end{matrix}\right.$

b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2), có nghĩa là xảy ta

$\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} b= -(2 + 2\sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} b= -(2 + 2\sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} a = \frac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.$

Bài 19 (SGK trang 16)

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x - 3:

$P\left(x\right)=mx^3+\left(m-2\right)x^2-\left(3n-5\right)x-4n.$

Hướng dẫn giải

P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.

P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

$\left\{\begin{matrix} -7 - n = 0& & \\ 36m - 13m = 3& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = 3 + 13(-7)& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = -88& & \end{matrix}\right.$