Bài 4: Cấp số nhân

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 103)

Chứng minh các dãy số $\left(\dfrac{3}{5}.2^n\right),\left(\dfrac{5}{2^n}\right),\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$ là các cấp số nhân ?

Hướng dẫn giải

a) Với mọi ∀n ε N^*, ta có $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=$ ( $\frac{3}{5}$ . 2ⁿ⁺¹) : ( $\frac{3}{5}$ . 2ⁿ) = 2.

Suy ra u_n+1 = u_n.2, với n ε N^*

Vậy dãy số đã chp là một câp số nhân với u₁ = $\frac{6}{5}$ , q = 2.

b) Với mọi ∀n ε N^*, ta có u_n+1 = $\frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}$ =u_n.

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với u₁ = $\frac{5}{2}$ , q = $\frac{1}{2}$

c) Với mọi ∀n ε N^*, ta có u_n+1 = $(-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{1}{2}$ .

Bài 2 (SGK trang 103)

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với công bội q.

a) Biết $u_1=2;u_6=486$. Tìm q ?

b) Biết $q=\dfrac{2}{3};u_4=\dfrac{8}{21}$. Tìm $u_1$ ?

c) Biết $u_1=3;q=-2$. Hỏi 192 là số hạng thứ mấy ?

Hướng dẫn giải

Trong bài này ta áp dụng công thức tinh số hạng tổng quát u_n = u₁.q^n-1, biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:

a) q = 3.

b) u₁ = $\frac{9}{7}$

c) Theo đề bài ta có u_n = 192, từ đó ta tìm được n. Đáp số: n =7

Bài 3 (SGK trang 103)

Tìm các số hạng của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có năm số hạng, biết :

a) $u_3=3$ và $u_5=27$

b) $u_4-u_2=25$ và $u_3-u_1=50$

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

u₃ = 3 = u₁.q² và u₅ = 27 = u₁.q⁴.

Vì 27 = (u₁q²).q² = 3.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u₃, ta có u₁= $\frac{1}{3}$ .

- Nếu q = 3, ta có cấp số nhân: $\frac{1}{3}$ , 1, 3, 9, 27.

- Nếu q = -3, ta có cáp số nhân: $\frac{1}{3}$ , -1, 3, -9, 27.

b) Áp dụng công thức tính số hạng tỏng quát từ giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2}-1)=25\\ u_{1}(q^{2}-1)=50 \end{matrix}\right.$

Từ hệ trên ta được: 50.q = 25 => q = $\frac{1}{2}$ .

Và u₁ = $\frac{50}{q^{2}-1}=\frac{50}{\frac{1}{4}-1}=-\frac{200}{3}$ .

Ta có cấp số nhân $\frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}$ .

Bài 4 (SGK trang 104)

Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62 ?

Hướng dẫn giải

Giả sử có cấp số nhân: u_1,u₂, u₃, u₄, u₅,u_6.

Theo giả thiết ta có:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31. (1)

và u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 62. (2)

Nhân hai vế của (1) với q, ta được: q.u₁ + q.u₂ + q.u₃ +q. u₄ +q. u₅ = 31.q

hay u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q

Suy ra 62 = 31.q hay q = 2.

Ta có S₅ = 31 = nên suy ra u₁ = 1.

Vậy ta có cấp số nhân 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Bài 5 (SGK trang 104)

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

N + 1,4%.N = 101,4%.N = $\frac{101,4}{100}.N$ .

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

N, $\frac{101,4}{100}.N$ , $(\frac{101,4}{100})^{2}.N$ , ....

Vậy nếu N = 1,8 triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau 5 năm số dân của tỉnh là $(\frac{101,4}{100})^{5}.1,8$ ≈ 1,9 (triệu người)

và sau 10 năm sẽ là $(\frac{101,4}{100})^{10}.1,8$ ≈ 2,1 (triệu người)

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (h44). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp như trên để được hình vuông $C_3$,.......Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,.....C_n,....$

Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của hình vuông $C_n$. Chứng minh dãy dố $\left(a_n\right)$ là một cấp số nhân ?