Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 107)

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm ?

Hướng dẫn giải

Xét cấp số cộng (u_n) với u_n+1 = u_n+ d, ta có: u_n+1 – u_n = d

+ u_n+1 > u_n nếu d > 0

+ u_n+1 < u_n nếu d < 0

Vậy cấp số cộng (u_n)

+ Tăng nếu d > 0

+ Giảm nếu d < 0

Bài 2 (SGK trang 107)

Cho cấp số nhân có $u_1< 0$ và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau :

a) $q>0$

b) $q< 0$

Hướng dẫn giải

Ta có: u_n= u₁.q^n-1

a) Nếu

$\left\{{}\begin{matrix}q>0\\u_1< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow u_n< 0\forall n$

b) Nếu

$\left\{{}\begin{matrix}q< 0\\u_1< 0\end{matrix}\right.$

Thì u_n < 0 khi n – 1 chẵn và u_n > 0 khi n – 1 lẻ.

Bài 3 (SGK trang 107)

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không ? Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa ?

Hướng dẫn giải

Gọi (u_n) và (a_n) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là $d_1$ và d₂ và có cùng n số hạng.

Ta có:

u_n = u₁ + (n -1) d₁

a_n = a₁ + (n – 1)d₂

⇒ u_n + a_n = u₁+ a₁ + (n – 1).(d₁ + d₂)

Vậy u_n + a_n là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁+ a₁và công sai là d₁ + d₂

Ví dụ:

1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d₁ = 2

0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d₂ = 5

⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d₁ + d₂ = 2 + 5 = 7

Bài 4 (SGK trang 107)

Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không ? Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa ?

Hướng dẫn giải

a_n= a₁. q₁^n-1, q₁ là hằng số

b_n= $b_1q_2^{n-1}$, q₂ là hằng số

Khi đó: a_n.b_n = = a₁. q₁^n-1. b₁. q₁^n-1 = (a₁b₁)(q₁q₂)^n-1

Vậy dãy số a_nb_n là một cấp số nhân có công bội : q = q₁q₂

Ví dụ:

1, 2, 4 ,... là cấp số nhân có công bội q₁ = 2

3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q₂ = 3

⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q₁q₂= 2.3 = 6

Bài 5 (SGK trang 107)

Chứng minh rằng với mọi $n\in N^{\circledast}$, ta có :

a) $13^n-1$ chia hết cho 6

b) $3n^3+15n$ chia hết cho 9

Hướng dẫn giải

a) Với n = 1, ta có:

13ⁿ – 1 = 13¹ – 1 = 12 ⋮ 6

Giả sử: 13^k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1

Ta chứng minh: 13^k+1 – 1 chia hết cho 6

Thật vậy:

13^k+1 – 1 = 13^k+1 – 13^k+ 13^k -1 = 12.13^k +13^k – 1

Vì : 12.13^k ⋮ 6 và 13^k – 1 ⋮ 6

Nên : 13^k+1 – 1 ⋮ 6

Vậy 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) Với n = 1, ta có: 3n³ + 15n = 18 ⋮ 9

Giả sử: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1) = 3. (k³ + 3k² + 3k + 1) + 15(k + 1)

= 3k³ + 9k² + 9k + 15k + 18

= 3k³ + 15k + 9(k² + k + 2)

Vì 3(k + 1)³ + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

Nên: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Vậy: 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N^*

Bài 6 (SGK trang 107)

Cho dãy số $\left(u_n\right)$, biết $u_1=2;u_{n+1}=2u_n-1$ (với $n\ge1$)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh $u_n=2^n+1$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

u₁ = 2, u₂ = 2u₁ – 1 = 3, u₃ = 2u₂ – 1= 5

u₄ = 2u₃ -1 = 9, u₅ = 2u₄ – 1= 10

b) Với n = 1, ta có: u₁ = 2^1-1 + 1 = 2 : đúng

Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: u_k = 2^k-1 + 1

Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,

Nghĩa là chứng minh:

U^k+1 = 2^(k+1)-1 + 1 = 2^k + 1

Ta có: u_{k+ 1} = 2u_k – 1 = 2(2^{k -1}+ 1) -1 = 2.2^{k -1} + 2 – 1 = 2^k + 1 (đpcm)

Vậy u_n = 2^n-1 + 1 với mọi n ∈ N^*

Bài 7 (SGK trang 107)

Xét tính năng, giảm và bị chặn của các dãy số :

a) $u_n=n+\dfrac{1}{n}$

b) $u_n=\left(-1\right)^{n-1}\sin\dfrac{1}{n}$

c) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Hướng dẫn giải

Xét hiệu:

$\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1 + \frac{1}{n + 1}) - (n + \frac{1}{n}) = 1 + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} \\ = \frac{n^{2} + n - 1}{n (n + 1)} > 0, \forall n \in N^{*} \end{aligned}$

Suy ra: u_n là dãy số tăng (1)

Mặt khác: $u_{n} = n + \frac{1}{n} \geq 2 \sqrt{n . \frac{1}{n}} = 2 \forall n \in N^{*}$

Nên u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi n càng lớn thì u_n càng lớn nên u_n là dãy số không bị chặn (3)

Từ (1), (2), (3) ta có u_n là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

u₁ = (-1)⁰.sin1 = sin 1 > 0

$\begin{aligned} u_{2} = {(- 1)}^{1} . \sin \frac{1}{2} = - \sin \frac{1}{2} < 0 \\ u_{3} = (- 1)^{2} . \sin \frac{1}{3} = \sin \frac{1}{3} > 0 \end{aligned}$

⇒ u₁ > u₂ và u₂ < u₃

Vậy u_n là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

$\begin{aligned} | u_{n} | = | (- 1)^{n - 1} . \sin \frac{1}{n} | = | \sin \frac{1}{n} | \leq 1 \\ \Leftrightarrow - 1 \leq u_{n} \leq 1 \end{aligned}$

Vậy u_n là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

$u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{n + 1 - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

Xét hiệu:

$\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{\sqrt{(n + 1) + 1} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \end{aligned}$

Ta có:

${\begin{matrix} \sqrt{n + 2} > \sqrt{n + 1} \\ \sqrt{n + 1} > \sqrt{n} \end{matrix} \Rightarrow \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} < \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} < 0$

⇒ u_nlà dãy số giảm (1)

Mặt khác:

$u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} > 0, \forall n \in N *$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{2} + 1$

Nên $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: u_n là dãy số giảm và bị chặn

Bài 8 (SGK trang 107)

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai d của các cấp số cộng $\left(u_n\right)$, biết :

a) $\left\{{}\begin{matrix}5u_1+10u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.$

b) $\left\{{}\begin{matrix}u_7+u_{15}=60\\u_4^2+u_{12}^2=1170\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

${\begin{matrix} 5 u_{1} + 10 u = 0 \\ S_{4} = 14 \end{matrix}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 5 u_{1} + 10 (u_{1} + 4 d) = 0 \\ \frac{4 (2 u_{1} + 3 d)}{2} = 14 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 u_{1} + 8 d = 0 \\ 2 u_{1} + 3 d = 7 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} = 8 \\ d = - 3 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy số hạng đầu u₁ = 8, công sai d = -3

b) Ta có:

${\begin{matrix} u_{7} + u_{15} = 60 \\ u_{4}^{2} + u_{12}^{2} = 1170 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} (u_{1} + 6 d) + (u_{1} + 14 d) = 60 (1) \\ (u_{1} + 3 d)^{2} + (u_{1} + 11 d)^{2} = 1170 (2) \end{matrix}$

(1) ⇔ 2u₁ + 20d = 60 ⇔ u₁ = 30 – 10d thế vào (2)

(2) ⇔[(30 – 10D) + 3d]² + [(30 – 10d) + 11d]² = 1170

⇔ (30 – 7d)² + (30 + d)² = 1170

⇔900 – 420d + 49d² + 900 + 60d + d² = 1170

⇔ 50d² – 360d + 630 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} d = 3 \Rightarrow u_{1} = 0 \\ d = \frac{21}{5} \Rightarrow u_{1} = - 12 \end{matrix}$

Vậy

${\begin{matrix} u_{1} = 0 \\ d = 3 \end{matrix}$

hay

${\begin{matrix} u_{1} = - 12 \\ d = \frac{21}{5} \end{matrix}$

Bài 9 (SGK trang 107)

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội q của các cấp số nhân $\left(u_n\right)$, biết :

a) $\left\{{}\begin{matrix}u_6=192\\u_7=384\end{matrix}\right.$

b) $\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=72\\u_5-u_3=144\end{matrix}\right.$

c) $\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_5-u_4=10\\u_3+u_6-u_5=20\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải

${\begin{matrix} u_{6} = 192 \\ u_{7} = 384 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} . q^{5} = 192 (1) \\ u_{1} . q^{6} = 384 (2) \end{matrix}$

Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u₁.2⁵ = 192 ⇔ u₁ = 6

Vậy u₁ = 6 và q = 2

b) Ta có:

${\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72 \\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} . q^{3} - u_{1} . q = 72 \\ u_{1} . q^{4} - u_{1} . q^{2} = 144 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} . q (q^{2} - 1) = 72 (1) \\ u_{1} . q^{2} (q^{2} - 1) = 144 (2) \end{matrix}$

Lấy 2 chia 1: q = 2 thế vào (1)

(1) ⇔2u₁(4 – 1) = 72 ⇔ u₁= 12

Vậy u₁ = 12 và q = 2

c) Ta có:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} u_{2} + u_{5} - u_{4} = 10 \\ u_{3} + u_{6} - u_{5} = 20 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} . q + u_{1} . q^{4} - u_{1} . q^{3} = 10 \\ u_{1} . q^{2} (q^{2} - 1) = 144 (2) \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} q (1 + q^{3} - q^{2}) = 10 (1) \\ u_{1} q (1 + q^{3} - q^{2}) = 20 (2) \end{matrix} \end{aligned}$

Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1)

(1) ⇔ 2u₁ (1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1 và q = 2

Bài 10 (SGK trang 108)

Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác ?

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số nhân và C = 4A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

B² = AC = A.(4A) = 4A² ⇒ B = 2A

C² = BD ⇒ (4A)² = (2A).D ⇒ D = 8A

Mặt khác: A + B + C + D = 360⁰

⇒ A + 2A + 4A + 8A = 360⁰

⇒ A = 24⁰ ⇒ B = 48⁰, C = 96⁰, D = 192⁰.

Bài 11 (SGK trang 108)

Biết rằng 3 số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân ?

Hướng dẫn giải

Ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân nên:

y = x.q và z = y.q = x.q² ( q là công bội)

Ba số x, 2y, 3z lậo thành một cấp số cộng nên:

x + 3z = 4y ⇔ x + 3.(xq²) = 4.(x.q)

⇔ x. (1 + 3q² – 4q) = 0 ⇔ x = 0 hay 3q² – 4q + 1 = 0

Nếu x = 0 thì x = y= z= 0, q là một số tùy ý

Nếu x ≠ 0 thì 3q²– 4q + 1 = 0 ⇔$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=1\\q=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$.
Công bội của cấp số nhân là $q=1$ hoặc $q=\dfrac{1}{3}$.

Bài 12 (SGK trang 108)

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là $12288m^2$. Tính diện tích mặt trên cùng ?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu:

u₁ = 12288m² và công bội $q=\dfrac{1}{2}$.

Vậy diện tích mặt trên cùng là: $u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}=12\left(m^2\right)$.

Bài 13 (SGK trang 108)

Chứng minh rằng nếu các số $a^2,b^2,c^2$ lập thành một cấp số công ($abc\ne0$) thì các số $\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}$ cũng lập thành một cấp số cộng ?

Hướng dẫn giải

Có thể bạn quan tâm

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Bài 1 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 2 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 3 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 4 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 5 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 7 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 8 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 9 (SGK trang 107)

Hướng dẫn giải

Bài 10 (SGK trang 108)

Hướng dẫn giải

Bài 11 (SGK trang 108)

Hướng dẫn giải

Bài 12 (SGK trang 108)

Hướng dẫn giải

Bài 13 (SGK trang 108)

Hướng dẫn giải

Có thể bạn quan tâm

Có thể bạn quan tâm