Bài 4: Cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q.
Số q gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (\(u_n\)) là cấp số nhân với công bội q, ta có \(u_{n+1}=u_nq\), với mọi số nguyên dương n.
Số hạng tổng quát: \(u_n=u_1q_{n-1}\) với n ≥ 2
Tính chất các số hạng của cấp số nhân: \(\left(u_k\right)^2=u_{k-1}.u_{k+1}\), với k ≥ 2
Tổng n số hạng đầu của Cấp số nhân
Nếu \(q=1\) thì \(S_n=n.u_1\)
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a; b; c. Biết \(\widehat{A}=90^0\) và \(a;\sqrt{\frac{2}{3}b};c\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm số đo các góc B và C
Bài giải :
Theo tính chất cấp số nhân, ta có : \(ac=\frac{2}{3}b^2\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có : \(b=a.\sin B,c=a.\cos B\)
Vậy \(ac=\frac{2}{3}b^2\Leftrightarrow3a^2.\cos B=2a^2\sin^2B\)
\(\Leftrightarrow2\cos^2B+3\cos B-2=0\)
\(\Rightarrow\cos B=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{B}=60^0;\widehat{C}=30^0\)
Ví dụ 2 : Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân, biết tổng 3 số hạng đầu bằng \(16\frac{4}{9}\), đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất, thứ 4 và thứ 8 của một cấp số cộng
Bài giải :
Gọi \(u_1,u_2,u_3,u_4\) là 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, với công bội q. Gọi \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng tương ứng với công sai là d. Theo giả thiết ta có :
\(\begin{cases}u_1+u_2+u_3+u_4=16\frac{4}{9}\left(1\right)\\u_1=v_1\\u_2=v_4=v_1+3d\\u_3=v_8=v_1+7d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=16\frac{4}{9}\left(1\right)\\u_1q=u_1+3d\left(2\right)\\u_1q^2=u_1+7d\left(3\right)\end{cases}\)
Khử d từ (2) và (3) ta được \(u_1\left(3q^2-7q+4\right)=0\left(4\right)\)
Do (1) nên : \(u_1\ne0\Rightarrow\left(4\right)\Leftrightarrow\begin{cases}q=1\\q=\frac{4}{3}\end{cases}\)
Theo định nghĩa thì \(q\ne1\), do vậy \(q=\frac{4}{3}\)
Thay vào (1), ta được \(u_1=4;u_2=u_1q=\frac{16}{3};u_3=\frac{64}{9};u_4=\frac{256}{27}\)
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng dãy số \(a_n=2.3^n\) lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó
Bài giải :
Xét \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2.3^{n+1}}{2.3^n}=3>1\) chứng tỏ \(a_n\) là một cấp số nhân, có công bội q = 3, \(a_1=2.3=6\)
Do vậy : \(S_8=\frac{6\left(3^8-1\right)}{3-1}=3.\left(3^8-1\right)=17.680\)
Ví dụ 4 :
Giả sử a, b, c, d lập thành một cấp số nhân. Hãy tính giá trị biểu thức :
\(\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2-\left(a-d\right)^2\)
Bài giải :
Ta có : \(A=\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2-\left(a-d\right)^2\)
\(=\left(a-aq^2\right)^2+\left(aq-aq^2\right)^2+\left(aq-aq^3\right)^2-\left(a-aq^3\right)^2=0\)
Tài liệu tham khảo thêm:
Bài tập cấp số cộng, cấp số nhân
Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
Bài tập
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
