Bài 3: Cấp số cộng

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 4 (SGK trang 98)

Mặt sàn tầng 1 của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng 1 lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm

a) Viết công thức để tìm độ cao của mỗi bậc tùy ý so với mặt sân

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt đất

Hướng dẫn giải

a) Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là h_n

Ta có: h_n = 0,5 + n.0,18.

b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là

h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)

Bài 3 (SGK trang 97)

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng $u_1,d,n,u_n,S_n$

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống ?

Hướng dẫn giải

a) Cần biết ít nhật ba trong năm đại lượng u₁, n, d, u_n, S_n thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.

b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.

b1) Biết u₁ = -2, u_n = 55, n = 20. Tìm d, S_n

Áp dụng công thức d = , S_n =

Đáp số: d = 3, S₂₀ = 530.

b2) Biết d = -4, n = 15, Sn = 120. Tìm u₁, u_n

Áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d và S_n = ,

ta có:

Giải hệ trên, ta được u₁ = 36, u₁₅ = - 20.

Tuy nhiên, nếu sử dụng công thức

thì S₁₅ = 120 = 15u₁ + .

Từ đó ta có u₁ = 36 và tìm được u₁₅ = - 20.

b3) Áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d, từ đây ta tìm được n; tiếp theo áp dụng công thức . Đáp số: n = 28, S_n = 140.

b4) Áp dụng công thức , từ đây tìm được n, tiếp theo áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d. Đáp số: u₁ = -5, d= 2.

b5) Áp dụng công thức , từ đây tìm được n, tiếp theo áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d. Đáp số: n = 10, u_n = -43

Bài 2 (SGK trang 97)

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau biết :

a) $\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_3+u_5=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.$

b) $\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải

a) Từ hệ thức đã cho ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.$

.Giải hệ này tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 16, d = -3.

b) Từ hệ đã cho ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} 2d =4\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.$

Giải hệ này để tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2

u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2.

Bài 1 (SGK trang 97)

Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây, dãy số nào là cấp số công ? Tính số hạng đầu và công sai của nó ?

a) $u_n=5-2n$

b) $u_n=\dfrac{n}{2}-1$

c) $u_n=3^n$

d) $u_n=\dfrac{7-3n}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Dãy số bị chặn dưới vì u_n = 2n² -1 ≥ 1 với mọi n ε N^* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n² -1 > M <=> n > $\sqrt{\frac{M+1}{2}}$ .

tức là luôn tồn tại n ≥ $\left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ]$ + 1 để 2 $n^{2}_{0}$ - 1 > M.

b) Dễ thấy u_n > 0 với mọi n ε N^*

Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n² ≥ 1 và 2n ≥ 2.

Do đó n(n + 2) = n² + 2n ≥ 3, suy ra $\frac{1}{n(n+2)}$ $\leq \frac{1}{3}$ .

Vậy dãy số bị chặn 0 < u_n $\leq \frac{1}{3}$ với mọi n ε N^*

c) Vì n ≥ 1 nên 2n² - 1 > 0, suy ra $\frac{1}{2n^{2}-1}$ > 0

Mặt khác n² ≥ 1 nên 2n² ≥ 2 hay 2n² - 1≥ 1, suy ra $u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1}$ ≤ 1.

Vậy 0 < u_n ≤ 1, với mọi n ε N^* , tức dãy số bị chặn.

d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + $\frac{\prod }{4}$ ), với mọi n. Do đó:

-√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N^*

Vậy -√2 < u_n< √2, với mọi n ε N^* .

Bài 5 (SGK trang 98)

Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ ?

Hướng dẫn giải

Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: S = 1 + 2 + 3 +....+ 12. Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có u₁ = 1, u₁₂ = 12. Do đó áp dụng công thức tính tổng,

ta có S = $\frac{(1+12).12}{2}$ = 78.