§2. Tích vô hướng của hai vectơ

Mục lục

* * * * *

Bài 1 (SGK trang 45)

Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC,}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: CB= a√2; $\widehat{C}$ = 45⁰

Vậy $\vec{AC}.\vec{CB}$ = - $\vec{CA}$ . $\vec{CB}$ = -| $\vec{CA}$ |: | $\vec{CB}$ |. cos45⁰= -a.a√2. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

=> $\vec{AC}.\vec{CB}$ = -a²

Bài 2 (SGK trang 45)

Cho 3 điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a; OB = b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp :

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB

b) Điểm O nằm trong đoạn AB

Hướng dẫn giải

a) Khi O nằm ngoài đoạn AB thì hai vec tơ $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$ cùng hướng và góc

( $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ ) = 0

cos( $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ ) = 1 nên $\vec{OA}$ . $\vec{OB}$ = a.b

b) Khi O nằm ngoài trongđoạn AB thì hai vectơ $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$ ngược hướng và góc

( $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ ) = 180⁰

cos( $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ ) = -1 nên $\vec{OA}$ . $\vec{OB}$ = -a.b

Bài 3 (SGK trang 45)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính $AB=2R$. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I

a) Chứng minh $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}$

b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}$ theo R

Hướng dẫn giải

a) Nối BM

Ta có AM= AB.cosMAB

=> || = ||.cos(, )

Ta có: . = ||.|| ( vì hai vectơ , cùng phương)

=> . = ||.||.cosAMB.

nhưng ||.||.cos(, ) = .

Vậy . = .

Với . = . lý luận tương tự.

b) . = .

. = .

=> . + . = ( + )

=> . + . = 4R²

Bài 4 (SGK trang 45)

Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm $A\left(1;3\right);B\left(4;2\right)$

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

Hướng dẫn giải

Giải:

a) D nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ của D là $(x; 0).$

Ta có :

$DA^2 = (1 - x)^2+ 3^2$

$DB^2 = (4 - x)^2+ 2^2$

$DA = DB $

$\Rightarrow DA^2 = DB^2$

$\Leftrightarrow(1-x)^2+9=(4-x)^2+4$

$\Leftrightarrow6x = 10$

$\Rightarrow x=\dfrac{5}{3}$

$\Rightarrow D$$\left(\dfrac{5}{3};0\right)$

b) Ta có:

$\overrightarrow{OA}= (1; 3)$

$\overrightarrow{AP}=\left(3;-1\right)$

$1.3 + 3.(-1) = 0 $

$\Rightarrow\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=0$

$\Rightarrow\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{AB}$

S_OAB = $\frac{1}{2}$ | $\vec{OA}$ | .| $\vec{AB}$ | => S_OAB =5 (dvdt)

Bài 5 (SGK trang 46)

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau :

a) $\overrightarrow{a}=\left(2;3\right);\overrightarrow{b}=\left(6;4\right)$

b) $\overrightarrow{a}=\left(3;2\right);\overrightarrow{b}=\left(5;-1\right)$

c) $\overrightarrow{a}=\left(-2;-2\sqrt{3}\right);\overrightarrow{b}=\left(3;\sqrt{3}\right)$

Hướng dẫn giải

a) cos( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = $\frac{2.6+ (-3).4}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}.\sqrt{6^{2}+4^{2}}}$ = 0

=> ( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = 90⁰

b) cos( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = $\frac{3.5+ 2(-1)}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}.\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}}}$ = $\frac{13}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}$

=> ( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = 45⁰

c) cos( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = $\frac{(-2).3+ (-2\sqrt{3}).\sqrt{3}}{\sqrt{(-2)^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}}.\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}$ = $\frac{-\sqrt{3}}{2}$

=> ( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = 150⁰

Đăng những câu khác đi em mỏi tay rồi

Bài 6 (SGK trang 46)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm $A\left(7;-3\right);B\left(8;4\right);C\left(1;5\right);D\left(0;-2\right)$. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{AB}$ = (1; 7); $\vec{DC}$ = (1; 7)

$\vec{AB}$ = $\vec{DC}$ => ABCD là hình bình hành (1)

ta lại có : AB²= 50 => AB = 5 √2

AD²= 50 => AD = 5 √2

AB = AD, kết hợp với (1) => ABCD là hình thoi (2)

Mặt khác $\vec{AB}$ = (1; 7); $\vec{AD}$ = (-7; 1)

1.7 + (-7).1 = 0 => $\vec{AB}$ ⊥ $\vec{AD}$ (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông

Bài 7 (SGK trang 46)

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm $A\left(-2;1\right)$. Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C ?

Hướng dẫn giải

Điểm B đối xứng với A qua gốc tọa độ nên tọa độ của B là (2; -1)

Tọa độ của C là (x; 2). Ta có: $\vec{CA}$ = (-2 - x; -1)

$\vec{CB}$ = (-2 - x; -3)

Tam giác ABC vuông tại C => $\vec{CA}$ ⊥ $\vec{CB}$ => $\vec{CA}$ . $\vec{CB}$ = 0

=> (-2 - x)(2 - x) + (-1)(-3) = 0

=> -4 + x²+ 3 = 0

=> x²= 1 => x= 1 hoặc x= -1

Ta được hai điểm C₁(1; 2); C₂(-1; 2)

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0 ?

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.
Vì vậy:
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}< 0$ khi $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)< 0$ hay $90^o< \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\le180^o$.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$ khi $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$ hay $0^o\le\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)< 90^o$.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ khi $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$ hay $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^o$.

Bài 2.14 (SBT trang 91)

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây :

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2$

Hướng dẫn giải

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$$=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$.
$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$$=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$.
$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\left|\overrightarrow{b}\right|^2$$=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2$.

Bài 2.15 (SBT trang 91)

Tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AB = a. Tính

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

b) $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

c) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ do $AB\perp AC$.
b)
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$.
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=a.\sqrt{2}a.cos45^o=a^2$.
c) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=-a^2$.

Bài 2.16 (SBT trang 91)

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra giá trị của góc A ?

b) Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ ?

Hướng dẫn giải

a) Có
$\overrightarrow{BC}^2=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)^2=\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{AC}^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}$
$=\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{BC^2}}{2}=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2}=20$.
$cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\dfrac{20}{5.8}=\dfrac{1}{2}$.
Vì vậy $\widehat{BAC}=60^o$.
b) Tương tự:
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=\dfrac{7^2+8^2-5^2}{2}=44$.

Bài 2.17 (SBT trang 91)

Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 11cm

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù

b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$ ?

Hướng dẫn giải

a) Có $\overrightarrow{BC}^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$
Suy ra: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{\overrightarrow{AC^2}+\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{BC}^2}{2}=\dfrac{8^2+6^2-11^2}{2}=-\dfrac{21}{2}$.
Do $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}< 0$ nên $cos\widehat{BAC}< 0$ suy ra góc A là góc tù.
b) Từ câu a suy ra: $cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=-\dfrac{21}{2.6.8}=-\dfrac{7}{32}$.
Do N là trung điểm của AC nên $AN=AC:2=8:2=4cm$.
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=AM.AN.cos\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right)$
$=2.4.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=2.4.\dfrac{-7}{32}=-\dfrac{7}{4}$.

Bài 2.18 (SBT trang 92)

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC. D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD ?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC nên $AH\perp BC$.
Có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}\right)$ (do $AH\perp BC$ )
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD}\right).\overrightarrow{BH}$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{BH}$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{BH}$ ( do $AH\perp BC$ )
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}\right)$ ( doM là trung điểm của BC).
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{AC}$
$=0$ (Do $HD\perp AC$ )

Bài 2.19 (SBT trang 92)

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có $\left|\overrightarrow{a}\right|=5;\left|\overrightarrow{b}\right|=12$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=13$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$ và suy ra góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Hướng dẫn giải

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$
$=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$
$=5^2+12^2+2.5.12.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$
$=169+120cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=13^2$
Suy ra: $cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0$.
$\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{a}\right)^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5^2+5.12.0=25$.
Mặt khác $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$
$=5.13.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$.
Vì vậy $25=5.13.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$.
$cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{5}{13}$.
Vậy góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là $\alpha$ sao cho $cos\alpha=\dfrac{5}{13}$.

Bài 2.20 (SBT trang 92)

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2$ ?

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{MH}=-\overrightarrow{HM}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)$;
$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.
Vì vậy:
$\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right).\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$
$=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AC}\right)$
$=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AB}\right)$ (Do H là trực tâm tam giác ABC).
$=\dfrac{1}{4}\left[\overrightarrow{CH}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{BH}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\right]$
$=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}\right)$
$=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}\right)$ ( do H là trực tâm tam giác ABC).
$=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC}\right)$
$=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}BC^2$.

Bài 2.21 (SBT trang 92)

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ ?

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos60^o=a.a.\dfrac{1}{2}$$=\dfrac{a^2}{2}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}==-a.a.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$$=-a.a.cos60^o=-\dfrac{a^2}{2}$.

Bài 2.22 (SBT trang 92)

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}$ ?

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right).\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(0+0\right)=0$ (vì $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}=0;\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MC}=0$).
Vậy $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{BC}=0$ nên $MP\perp BC$.

Bài 2.23 (SBT trang 92)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với $A=\left(2;4\right);B=\left(1;3\right);C=\left(3;-1\right)$. Tính :

a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Tọa độ chân A' của đường cao vẽ từ đỉnh A

Hướng dẫn giải

a)Gọi $D\left(x;y\right)$ là tọa độ điểm cần tìm.
$\overrightarrow{AD}\left(x-2;y-4\right)$; $\overrightarrow{BC}\left(2;-4\right)$.
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=2\\y-4=-4\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.$$\Rightarrow D\left(4;0\right)$.
b) Gọi$A'\left(x;y\right)$ là điểm cần tìm. A' thỏa mãn hai điều sau:
- $AA'\perp BC$. (1)
- A' , B, C thẳng hàng. (2)
$\overrightarrow{AA'}\left(x-2;y-4\right)$; $\overrightarrow{BC}\left(2;-4\right)$.
$\left(1\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow2\left(x-2\right)-4\left(y-4\right)=0$ (3)
(2) suy ra hai véc tơ $\overrightarrow{A'B}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
Có $\overrightarrow{A'B}\left(1-x;3-y\right)$.
Nên $\dfrac{1-x}{2}=\dfrac{3-y}{4}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.$.
Vậy A'(1;3).

Bài 2.24 (SBT trang 92)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với $A\left(-1;1\right);B\left(1;3\right);C\left(1;-1\right)$. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A ?

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.\left(-2\right)=0$ nên $AB\perp AC$. (1)
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
$AC=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{2}$
Vì vậy AB = AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.

Bài 2.25 (SBT trang 92)

Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm $A\left(-1;1\right);B\left(0;2\right);C\left(3;1\right);D\left(0;-2\right)$. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân ?

Hướng dẫn giải

Muốn chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân ta cần chứng minh hai điều:
- AB//CD.
- AD = BC.
$\overrightarrow{AB}\left(1;1\right);\overrightarrow{DC}\left(-3;-3\right)$
Dễ thấy $\overrightarrow{DC}=-3\overrightarrow{AB}$ nên hai véc tơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương.
Suy ra DC//AB. (1)
$AD=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=\sqrt{10}$.
$BC=\sqrt{\left(3-0\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{10}$.
Vậy AD = BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân.

Bài 2.26 (SBT trang 92)

Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm $A\left(-1;-1\right);B\left(3;1\right);C\left(6;0\right)$ ?

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính góc B của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow{BA}\left(4;2\right);\overrightarrow{BC}\left(3;-1\right)$.
Vì $\dfrac{4}{3}\ne\dfrac{2}{-1}$ nên hai véc tơ $\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}$ không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) $cos\widehat{ABC}=cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{4.3+2.\left(-1\right)}{\sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}$$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra: $\widehat{ABC}=45^o$.

Bài 2.27 (SBT trang 92)

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm $A\left(5;5\right);B\left(3;-2\right)$. Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|$

Hướng dẫn giải

M thuộc trục hoành Ox nên $M\left(x;0\right)$.
$\overrightarrow{MA}\left(5-x;5\right);\overrightarrow{MB}\left(3-x;-2\right)$
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(8-x;3\right)$
Ta có:
$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(8-x\right)^2+3^2}\ge\sqrt{3^2}=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|$ bằng 3 khi x = 8 hay $M\left(8;0\right)$.

Bài 2.28 (SBT trang 92)

Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm $A\left(3;4\right);B\left(4;1\right);C\left(2;-3\right);D\left(-1;6\right)$

Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn ?

Hướng dẫn giải

Muốn chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh: $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o$$\Leftrightarrow$

$\overrightarrow{BA}\left(-1;3\right);\overrightarrow{BC}\left(-2;-4\right)$
$cos\widehat{ABC}=cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)$$=\dfrac{\left(-1\right).\left(-2\right)+3.\left(-4\right)}{\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2}.\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $\overrightarrow{ABC}=135^o$.
$\overrightarrow{DA}\left(4;-2\right);\overrightarrow{DC}\left(3;-9\right)$
$cos\widehat{ADC}=\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=\dfrac{4.3+\left(-2\right).\left(-9\right)}{\sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{\left(3\right)^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Suy ra $\widehat{ADC}=45^o$
Vậy $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=135^o+45^o=180^o$.
Vì vậy tứ giác ABCD nội tiếp.

Có thể bạn quan tâm