Đề thi HSG Toán 8 trường THCS Đông Kinh năm 2020-2021

PHÒNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 01 trang, 04 bài) Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 b) Bài 2: (6 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: (6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết 2 –2 2 = (x + y ≠ 0, ≠ 0). c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức thức . cho đa d) Tính tổng các hệ số trong khai triển (1−2x)2021 e) Chứng minh rằng: là số tự nhiên lẻ f) Tìm hế số a để: Bài 3 : (7 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. Bài 4 : (3 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab --------------- Hết ------------------ 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN (HDC gồm có 03 trang 04 bài) HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THANG ĐIỂM 2 2 Bài 1 a) 5x - 26x + 24 = 5x - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6) 1 điểm 4 điểm (x - 4) 1 điểm b) = = BÀI NỘI DUNG c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =  x  1 x  5 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) Bài 2 a) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) 6 điểm + 7x – 3x + = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 1 điểm 1 điểm 1 điểm = b) x2 – 2y2 = xy  x2 – xy – 2y2 = 0  (x + y)(x – 2y) = 0 1 điểm Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y .Khi đó A = 1 điểm c) Đặt , biểu thức P(x) được viết lại: Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2000 2020 d) Gọi f(x)= (1−2x) => f(1)= (1−2.1)2020= (-1)2020 = 1 Vậy tổng các hệ số trong khai triển là 1 e) , Vì n là số lẻ, Đặt 1 điểm 1 điểm f) Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của , khi chia cho x - 1 là 1 điểm Để có phép chia hết thì 2 Bài 5 7điểm 0, 5 điểm Vẽ đúng hình a) ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên 2 điểm AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và 1,5 điểm APS nên AN SP và AM RQ. Mặt khác : = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao của 1,5 điểm SQR. Vậy P là trực tâm của SQR. d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến 1,5 điểm nên AM = QR. MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC. Bài 6 a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 3 điểm = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = Vậy min A = 2010 khi (x = b) Ta có a3+ b3 + ab 0 2a2+2(1-a)2-1 2a2+2 - 4a + 2a2 - 1 ) ) (1)  a3+b3+ab - (a+b)(a2+ b2-ab) + ab2a2+2b2-1 ;y= ;y= 1,5 điểm a2+b2- 0 1,5 điểm 0 (vì a + b =1) (vì b = 1- a) 4(a2- a + ) 3 2 1  4 a   0 2  (2) ... đpcm. 4