UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Đề gồm 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)

b) x³ + y³ + z³ – 3xyz

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a⁴ + b⁴ + c⁴

b) Tìm GTNN:

Câu 3 (2,0 điểm):

a) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n³ - n² + n - 1

b) Tìm đa thức dư của phép chia đa thức f(x) = x¹⁰⁰ + x⁵⁵ + x² + x + 5 cho đa thức x² -1

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F.

a) Chứng minh rằng: BM = ND.

b) EMFN là hình gì?

c) Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.

Câu 5 (1,0 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

------------------Hết-------------------

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH

HƯỠNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HSG

MÔN: Toán 8

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu	Đáp án	Điểm
1 (2,0 điểm)	a. (1,0 điểm)
	a) (1 điểm) = = =	0,5 0,25 0,25
	b. (1,0 điểm)
	x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y)³ – 3xy(x + y) + z³ – 3xyz = (x + y + z)³ – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)² – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)	0,25 0,25 0,25 0,25
2 (2,0 điểm)	a. (1,0 điểm)
	Từ a² + b² + c² = 14 (a² + b² + c²)² = 196 a⁴ + b⁴ + c⁴ = 196 – 2(a²b² + b²c² + c²a²) Ta lại có: a + b + c = 0 (a + b + c)² = 0 a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 (ab + bc + ca) = -7 (ab + bc + ca)² = 49 a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a + b + c) = 49 a²b² + b²c² + c²a² = 49 Do đó N = a⁴ + b⁴ + c⁴ = 196 – 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 196 – 2.49 = 98	0,25 0,25 0,25 0,25
	b. (1 điểm)
	P = P = x² + 5y² + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x² + y² + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y² – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)² + (2y – 1)² + 2010 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi	0,25 0,25 0,25 0,25
3 (2,0 điểm)	(1,0 điểm)
	p = n³ - n² + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n² + 1)(n - 1) - Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài - Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (2² + 1)(2 - 1) = 5 - Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n² + 1 > n – 1> 1 - Vậy n = 2 thì p = n³ - n² + n - 1 là số nguyên tố	0,25 0,25 0,25 0,25
	(1,0 điểm)
	vì đa thức chia coa bậc là 2 nên đa thức dư có dạng ax + b. Gọi thương của phép chia f(x) cho x² -1 là Q(x) ⇒ f(x) = (x²-1).Q(x) +ax + b Thay x = 1 ⇒ a + b = 9 (1) Thay x = -1 ⇒ -a + b = 5 (2) Từ (1), (2) ⇒ a = 2, b= 7 Vậy đa thức dư là 2x + 7	0,25 0,25 0,25 0,25
4 (3,0 điểm)		0,25
	a. (0,75 điểm)
	a) ABCD là hình vuông ( gt) A₁ + MAD = 90⁰ ( gt) (1) Vì AMHN là hình vuông ( gt) A₂ + MAD = 90⁰ (2) Từ (1) và (2) suy ra: A₁ = A₂ Ta có: ( c.g.c) B = D₁ = 90⁰ và BM= ND	0,25 0,25 0,25
	b. (1,0 điểm)
	Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH EN = EM và FM = FN (3) Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N₁=M₃) O₁ = O ₂ EM = NF (4) Từ (3) và (4) EM=NE=NF=FM MENF là hinh thoi (5)	0,25 0,25 0,25 0,25
	c. (1,0 điểm)
	Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN Mà DN = MB ( cmt) MF=DF+BM Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB) = (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a Hình vuông ABCD cho trước a không đổi p không đổi	0,25 0,25 0,25 0,25
5 (1,0 điểm)	) x² - 2x +1 = (x-1)² ≥ 0 ⇒ x² -2x +3 ≥ 2 mọi x ∈ R (1) y² + 6y +9 = (y+3)² ≥ 0 ⇒ y² + 6y + 12 ≥ 3 mọi y ∈ R (2) + = (x² - 2x)( y² + 6y) + 12(x² - 2x) + 3(y² + 6y) + 36 + 2009 = (x² - 2x)( y² + 6y + 12) + 3(y² + 6y +12) + 2009 = (x² - 2x + 3)( y² + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) và (3) ⇒ B ≥ 2.3 + 2009 ⇒ B ≥ 2015 ) B = 2015 ⇔ x = 1 và y = -3 *) Min B = 2015 ⇔ x = 1 và y = - 3	0,25 0,25 0,25 0,25

* Ghi chú: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Đề thi HSG Toán 8 thành phố Chí Linh

Nội dung tài liệu

Các tài liệu liên quan

Có thể bạn quan tâm

Thông tin tài liệu