Đề thi HSG Toán 8 huyện Sơn Dương năm 2015-2016

Câu 1.(4 điểm)

a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

b) Rút gọn biểu thức: A =

Câu 2.(4 điểm)

a) Cho Tính

b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn:

Câu 3: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

b) Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3.

Chứng minh rằng: chia hết cho 3.

Câu 4. (6 điểm)

Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng: AE ⊥ BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.

Câu 5. (2 điểm)

Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức: P=

----------------------------------------------------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................

Câu	Phần	Nội dung	Điểm
Câu 1 (4 điểm)	a 2đ	=	0.5 0.5 0.5 0.5
	b 2đ	Ta có : => B = …=1-	1 1
Câu 2 ( 4 điểm )	a 2đ	Ta cã th× (v× nªn ) Theo gi¶ thiÕt	0.5 0.5 0.5 0.5
	b 2đ	x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 <=> (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + (y2 – 3y + 3) = 0 <=> (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0 Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1)	1 0,5 0.5
Câu 3 (4 điểm)	a 2đ	a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chính phương.	0.5 0.5 0.5 0.5
	b 2đ	Dễ thấy là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu chia hết cho 3 Mà là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. Do vậy A chia hết cho 3.	0.5 0.5 0.5 0.5
Câu 4 (6 điểm )			0,5
	a 2đ	∆AME = ∆CMB (c-g-c) ⇒ ∠EAM = ∠BCM Mà ∠BCM + ∠MBC = 900 ⇒ ∠EAM + ∠MBC = 900 ⇒ ∠AHB = 900 Vậy AE ⊥ BC	1 0,5 0,5
	b 2đ	Gọi O là giao điểm của AC và BD. ∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến ⇒ ∆DHM vuông tại H ⇒ ∠DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: ∠MHF = 900 Suy ra: ∠DHM + ∠MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.	0,5 0,5 0,5 0,5
	c 1,5đ	Gọi I là giao điểm của AC và DF. Ta có: ∠DMF = 900 ⇒ MF ⊥ DM mà IO ⊥ DM ⇒ IO // MF Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF Kẻ IK ⊥ AB (K∈AB) ⇒ IK là đường trung bình của hình thang ABFD (không đổi) Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định. Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB	0,5 0,5 0,5
Câu 5 ( 2 điểm )		(a+b+c)2= Tương tự:	0,5 0,5 0,5 0,5

Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.