Đề thi HSG Toán 8 huyện Gia Viên năm 2014-2015

UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Năm học: 2014- 2015 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)  x2  2x  1 2  2x2 1  2  . Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: A  2  2 3   2x  8 8  4x  2x  x   x x  a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (4 điểm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x( x  2)( x 2  2 x  2)  1 = 0 b) y 2  4 x  2 y  2 x 1  2 0 x 2  4 x  6 x 2  16 x  72 x 2  8 x  20 x 2  12 x  42 c)    x2 x 8 x4 x 6 Câu 3. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 3 2 2) Tìm a,b sao cho f  x  ax  bx  10x  4 chia hết cho đa thức g  x  x 2  x  2 ab 4a  b 2 3) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: P  2 Câu 4. (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (CM < CD), vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K. a) Chứng minh: DH vuông góc với BM. b) Tính Q = PC PH KP   BC DH MK c) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 Câu 5. (1,5 điểm) 1) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:  x y x2 y2  2  4 3   2 y x  y x 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy ( x  2)( y  6) 12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2045 ---------------- Hết ---------------- UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 Năm học 2014 - 2015 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang) CHÚ Ý : - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó Câu Đáp án  x  2x 2 2x Biểu điểm 2  1 2  1  2  . Cho biểu thức: A  2 2 3   2x  8 8  4x  2x  x   x x  a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm  2 x 2  8 0  Giá trị của A được xác định   8  4 x  2 x 2  x 3 0  x 0   2 x 2  8  x 2  4    x 2   4(2  x)  x 2 (2  x) 0   (2  x)(4  x 2 ) 0    x 0  x 0  x 0   x  2; x  0 - ĐKXĐ : 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (Nếu HS chỉ nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rút gọn : 3,0 điểm  x2  2x  1 2  2x2 A   1  2  Ta có  2 2 3  2 x  8 8  4 x  2 x  x x x     1 (5 điểm)  x2  2 x   x2  x  2  2x2     2 2 x2  2( x  4) 4(2  x)  x (2  x)     ( x 2  2 x)(2  x)  4 x 2 x 2  x  2 x  2 . 2( x 2  4)(2  x) x2 2 x 2  x 3  4 x  2 x 2  4 x 2 x( x  1)  2( x  1)  . 2( x 2  4)(2  x ) x2   x( x 2  4) ( x  1)( x  2) x  1 .  2 2( x  4)(2  x) x2 2x 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm b) (1,0 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. x 1  Z  x +1  2x  2x + 2  2x Mà 2x  2x 2x  2  2x  1  x  x = 1 hoặc x = -1 * 0,5 điểm 0,25 điểm * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) Vậy A= x 1  Z  x = 1 hoặc x = -1 2x 0,25 điểm Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) (1,5 điểm) x( x  2)( x 2  2 x  2)  1 = 0  (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0  (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0  (x2 + 2x + 1)2 = 0  (x+1)4 = 0  x + 1 = 0  x = -1 Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1 b) (1,5 điểm) y 2  4 x  2 y  2 x 1  2 0  y 2  2 y  1  (2 x ) 2  2.2 x  1 0  ( y  1)2  (2 x  1) 2 0  y + 1 = 0 hoặc 2 x  1 = 0  y = -1 hoặc x = 0 Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1) c) (1,0 điểm) 2 (4 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm x 2  4 x  6 x 2  16 x  72 x 2  8 x  20 x 2  12 x  42    (1) x2 x 8 x4 x6 - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 2 2 2 ( x  2)  2 ( x  8)  8 ( x  4)  4 ( x  6)  6    x2 x 8 x4 x 6 2 8 4 6  x 8 x  4   x 6  x2 x2 x 8 x4 x 6 2 4 6 8     x  2 x  4 x  6 x 8 2 x  8  4 x  8 6 x  48  8 x  48   ( x  2)( x  4) ( x  6)( x  8)  2x  2x   ( x  2)( x  4) ( x  6)( x  8)  x = 0 hoặc ( x  2)( x  4) = ( x  6)( x  8) - PT (1)  3 (3 điểm) 0,25 điểm 2  x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48  x = 0 hoặc 8x = - 40  x = - 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT đã cho có 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5 1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) - Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài - Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 - Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 3 2 2) (1,0 điểm) Tìm a,b sao cho f  x  ax  bx  10x  4 chia hết 2 cho đa thức g  x  x  x  2 2 * g  x  x  x  2 = (x -1)(x - 2) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 3 2 * f  x  ax  bx 10x  4  g  x  3 2  f  x  ax  bx  10x  4 = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) 0,25 điểm - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta có: a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0  a = 2 và b = -8 3 2 Vậy f  x  ax  bx 10x  4  g  x   a = 2 và b = -8 0,25 điểm 0,25 điểm 3) (1,0 điểm) ab 4a  b 2 Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: P  2 - HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab  (4a - b)(a -b) = 0  b = 4a hoặc b = a - Mà 2a  b  0  4a > 2b > b nên a = b a2 1 - Ta có : P  2 2 = 4a  a 3 4 (6,5 điểm) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 1 - Vậy 4a + b = 5ab và 2a  b  0 thì P  3 2 0,25 điểm 2 - Hình vẽ 0,25 điểm A B K H P D N C M a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuông góc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 - CM:  DPC =  BMC (cgc) - Chứng minh được BHP = 900 b) (2,0 điểm) Tính Q = 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm PC PH KP   BC DH MK 0,5 điểm - HS CM : MP  BD - 1 .DM .PC S PC 2  PDM 1 BC .DM .BC S BDM 2 ; 0,5 điểm 1 1 .DB.KP S .DB.KP S PH PH 2 PBM 2     PBD Tương tự : 1 1 DH .DB.MK S BDM DH .DB.MK S BDM 2 2 S  SPBM  S PBD 1  Q = PDM S BDM c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM - CM:  MCP  MKD (g.g) 0,5 điểm 0,5 điểm 2 0,5 điểm  MP . MK = MC . MD (1) - CM: DBC  DKM (g.g)  DK . BD = DC. DM (2) - Từ (1) và (2)  MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC)  MP . MK + DK . BD = DM2 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 1) (0,75 điểm) x y  ≥ 2 với mọi x, y > 0 y x x y x y   -2 ≥ 0;  - 1 ≥ 1 y x y x x y x y  (  -2)(  -1) ≥ 0 y x y x 0,25 điểm - HSCM: 0,25 điểm x2 y 2 x y x y  2  2  (  )  2(  )  2 0 2 y x y x y x 2 2  x y x y  2  2  4 3   y x  y x  0,25 điểm Dấu “=” xảy ra  x = y > 0 2) (0,75 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy ( x  2)( y  6)  12 x 2  24 x  3 y 2  18 y  2045 5 (1,5 điểm) *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0  x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x  R 0,25 điểm (1) 2 2 2 y + 6y +9 = (y+3) ≥ 0  y + 6y + 12 ≥ 3 mọi y  R (2) + B xy ( x  2)( y  6) 12 x 2  24 x  3 y 2 18 y  2045 0,25 điểm = (x - 2x)( y + 6y) + 12(x - 2x) + 3(y + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) và (3)  B ≥ 2.3 + 2009  B ≥ 2015 *) B = 2015  x = 1 và y = -3 *) Min B = 2015  x = 1 và y = - 3 2 2 2 ---------------- Hết ---------------- 2 0,25 điểm