Đề thi HSG Toán 8 huyện Ân Thi năm 2013-2014

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN 8 (Thời gian: 150 phút) Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau: a) b) 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 2 Bài 2 (2,0đ). a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng: A = b) Cho và a b c   3 bc  a a c  b a b c . Chứng minh rằng : . Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (3,0đ). Cho vuông tại A (AC>AB), đường cao AH . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM. 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: Bài 5 (1,0đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 6 (1,0đ) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN Năm học 2013-2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 8 Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau: b) 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 2 Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; ĐKXĐ : x  4; x  5; x  6; x  7 Phương trình trở thành : 1 1 1 1 1 1 1       x  4 x  5 x  5 x  6 x  6 x  7 18 1 1 1   x  4 x  7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; Bài 2 (2,0đ). a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng: A = a b c   3 bc  a a c  b a b c Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra a= yz xz xy ;b  ;c  ; 2 2 2 2 Thay vào ta được A= 1 2 yz xz x y 1 y x x z y z     (  )  (  )  (  ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ đó suy ra A  (2  2  2) hay A 3 b) Cho và . Chứng minh rằng : . Từ : ayz + bxz + cxy = 0 Ta có : Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11) Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số Theo bài ra ta có phương trình (x khác -15) = Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) Từ đó tìm được phân số Bài 4 (3,0đ). 1. Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. CD CA  (Hai tam giác vuông CDE và CE CB CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).  Suy ra: BEC  ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: BE  AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD     (do BEC ADC ) BC 2 BC 2 AC mà AD  AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH       nên (do ABH CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE   Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350  AHM 450 2. Ta có: 3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. 3 GB AB AB ED AH HD    ABC DEC    ED // AH   , mà GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD      Do đó: GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC Suy ra: Bài 5 (1,0đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . = Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 6 (1,0đ) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10) 4