Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án

PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO OỤ ẠHUY HO NG HÓAỆ THI CH SINH GI ỚNĂM C: 2014 ­2015ỌMôn thi: Toán Ngày thi: 16/03/2015 Th gian làm bài: 150 phút không th gian giao đ)ể thi này có 06 bài, 01 trang )ề ồBài 1: (4,5 đi m).ể Cho bi th c: ứ)2(:121361123xxxxxxQ .a) Tìm đi ki xác đnh Q, rút Q. ọb) Tìm khi 13 c) Tìm giá tr nh bi th Q.ị ứBài 2: (4,5 đi m).ểa) Gi ph ng trình: ươ)72)(12(9961725212322xxxxxxxx b) Phân tích đa th sau thành nhân xứ 2x +2 c) Tìm các giá tr x, nguyên dị ươ ng sao cho: 2y 13.Bài (4,0 đi m). ểa) Cho abc 1 và ab bc ca 1b a  Ch ng minh ng c.ứ ằb) Cho sè tù nhiªn 3. Chøng minh r»ng nÕu 10a (a, bN, 10) th× tÝch ab chia hÕt cho 6. Bài (5,0 đi m).ể Cho tam giác ABC có ba góc nh n. Các đng cao AD, BE, CF tọ ườ ắnhau H.ạa) Ch ng minh ng: BD.DC DH.DA.ứ ằb) Ch ng minh ng: ằHD HE HF1AD BE CF .c) Ch ng minh ng: là giao đi các đư ng phân giác tam giác DEF.ờ ủd) M, N, P, Q, I, lọ là trung các th ng BC, CA, AB,ạ ẳEF, FD, DE. Ch ng minh ng ba đư ng th ng MQ, NI, PK ng quy m.ểBài 5: (1.0 đi m). Cho tam giác ABC cân có AB AC =b BC a. Đng phânạ ườgiác BD tam giác ABC có dài ng nh bên tam giác ABC. Ch ng minhủ ứr ng: ằ21 1( )bb b  .Bµi 6: (1, điểm). Cho a, b, 0; 3. Ch ng minh ng: ằ2 2a 31 2  .H tếH tên thí sinh :……………………............ Giám th :………………………....ọ ốS báo danh ……………………............... Giám th 2: ………………………....ố ốCán coi thi không gi thích gì thêm.ộ ảPHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO OỤ ẠHUY HO NG HOÁỆ NG CH THI CH HSG ƯỚ NĂM 2014­2015Ọ MÔN: ng ch này 04 trangướ ồBài dung đtộ Thangđi mểBài 1(4,5đ) a) Đk: 1; 2.x x 23 21 2)( 1) 1.1 1)( 2)( 1) 1x xQx x   0,51,5b) 221 11 1)( 2) 01 3x xx x  Suy ra ­1 ho 2.ặSo sánh đi ki suy ra thì 13 0,50,50,5c) 211Qx x Vì 0; 21 30.2 4x    Q đt GTLN 21x x đt GTNN 2314x x x= 12 (t/m). Lúc đó 43V GTLN là 43 khi x= 12 0,250,250,250,25Bài 2(4,5đ) a) ĐK: 7;2 2x x  22 222 22 (2 7) 16 92 (2 7) 14 20 21 12 16 92 18 16 162 108 16 16 (2 1) 0x xx xx xx xx xx xx xxx xx           12  (Lo¹i)V ph ng trình có nghi 0ậ ươ 0,250,50,50,25b) Ta có 2x (x 3­2x 2)­(x­2)=x 2(x­ 2)­(x­2) =(x­2)(x 2­1) (x­2)(x­1)(x+1). 0,50,50,5c)Ta có 2y 13 (y 1) 12 (x 1)(x 1) 12Do (x 1) 2y là ch và N* nên Do và là hai sốnguyên ươ ng ch n. ẵT suy ra ch có trỉ ng p: và 2ờ ợ và 1. (x; y) (4; 1).ậ 0,50,50,5Bài 3(4,0đ) a) ừab bc ca 1b a  1a cb a Do ó:1 ca bc bc ; ab ca ac bc ab ab Suy ra: (a b)(b c)(c a) 2(a b)(b c)(c )a c  (a b)(b c)(c a)(a 2b 2c 1) (a b)(b c)(c a) (do abc 1)Suy ra 0,50,50,50,5b) Ta có 10a ab (1)Ta ch ng minh ab ứM (2)Th y, đng th 2ậ 10a có ch cùng là b. ậĐt 4k (k,  3) ta có: 16 k2 r. thì 16 cùng là ab 6. thì r(16 1) 10 cùng là 2ậ suy ra 10a r(16 1) ab 3.T (1) và (2) suy ra ab ừ 0,50,50,50,5Bài 4(5,0đ)HABCDEFa) Ch ra đư BDH ADC (g.g) BD DHAD DC BD.DC DH.DA 0,50,50,5b) Ta có: HBCABC1HD.BCS HD21S ADAD.BC2 T ươ ng ựHACABCHE SBE S HABABCHF SCF S .Do HBC HAC HAB ABCABC ABCHD HE HF S1AD BE CF S  0,50,50,5c) Ch ng minh đư AEF ABC (c.g.c) ··AEF ABC T ươ ng ự··DEC ABC Do ó: ··AEF DECMà ····AEF HEF DEC HED 90 nên ··HEF HED EH là phân giác góc DEF. ủT ươ ng FH là phân giác góc EFDự ủDo là giao các đư ng phân giác tam giác DEF.ờ 0,250,250,250,25d)HAB CD EF NMKQI Do BEC vuông E, là trung BC nên EM 12 BC(trung tuy ng nh huy n)ế ềT ươ ng FM 12 BC Do ó: EMF cân M, mà là trung EF nên MQ EF MQ là đư ng trung tr EF hay MQ là đư ng trung tr cờ ực tam giác DEF. ủHoàn toàn ươ ng ch ng minh đư NI và PK cũng là đư ngờtrung tr tam giác DEF nên ba đư ng th ng MQ, NI, PKờ ẳđ ng quy m.ể 0,50,5Bài 5(1,0đ)HDCBAV BH là đng cao tam giác ABC. ườ ủTam giác BAD cân (BA=BD) có BH là đng cao nên cũng ườlà đng trung tuy ườ ế2ADAH .Tam giác ABC có BD là đng phân giác ta có :ườ2DA AB DA DC DA DC AC bDADC BC b  Tam giác HAB vuông theo đ/lý Pytago ta có :ạ22 24ADAB BH AH BH (1)Tam giác HBC vuông theo đ/lý Pytago, ta cóạ2 222 2( )2. (2)4ADBC BH HC BH BC AC AH bADBH AD  T (1) và (2) ta có :ừ2 22 222 2. .4 41 1( )( )( )AD ADb AD AD bab bb aa ab b    V bài toán đc c/m.ậ ượ 0,250,250,250,25Bài 6(1,0đ) Do a, và 2b nênớ ọ2 22 2a ab ab aba a1 2b 2  . ng ta có ươ ự2b bcb1 2  2c cac1 2 mà nên 2a ab bc ca31 2   (1)Cũng (a c) 2(ab bc ca) mà 2ab; 2bc; 2ac nên ab +bc ca suy ra 3(ab bc ca) ab bc ca (2). (1) và (2) suy ra ừ2 2a 331 2  đpcm. Đng th ra khi và ch khi 1. 0,250,250,250,25Ghi chú:­ sinh làm cách khác mà đúng thì cho đi đaọ ố­ Bài hình sinh không hình ho hình sai thì không ch mế ấđi m.ể